Extra?as particiones

Curiosamente, el problema de la balanza defectuosa propuesto la semana pasada confundi¨® a algunos de nuestros sagaces lectores; y sin embargo se resuelve con una sencilla regla de tres (que en este caso es una ¡°regla de dos¡±): si llamamos x al peso del lingote, 4 es a x como x es a 9, luego x² = 36, x = 6. El lingote pesa 6 kilos (y no 6,5 como han estimado algunos).

En cuanto al vendedor tramposo, supongamos, para simplificar los c¨¢lculos, que compra la tela a 10 euros el metro. Para ganar el 30 % ha de venderla a 13; pero si su metro mide menos de un metro, su ganancia ser¨¢ mayor. Si llamamos x a la longitud real de su metro, lo que a ¨¦l le cuesta 10x lo vende a 13, luego su porcentaje de beneficio ser¨¢ (13 ¨C 10x) /10x = 33/100, de donde x = 0,977. El metro del vendedor tramposo mide, redondeando, 98 cent¨ªmetros (en este caso -como en otros que hemos visto en anteriores columnas- el redondeo viene a cuento, pues al cortar una tela siempre hay un margen de error de uno o dos cent¨ªmetros).

El problema de los dados defectuosos tiene una curiosa soluci¨®n: da igual qu¨¦ dado elija el segundo jugador, pues su probabilidad de ganar ser¨¢ siempre del 50 %. En efecto, cada una de las 6 caras de un dado puede combinarse con cada una de las 6 caras del otro, por lo que hay 6 x 6 = 36 emparejamientos posibles. Si llamamos x al n¨²mero de caras en blanco del segundo dado, las combinaciones blanco-blanco ser¨¢n 3x, y las combinaciones n¨²mero-n¨²mero ser¨¢n 3(6 ¨C x), en total 3x + 18 ¨C 3x = 18, independientemente del valor de x.

Particiones y repartos

1. Sigamos con los dados. Un fabricante de juegos de mesa tiene un cubo de madera de 9 cent¨ªmetros de lado y desea dividirlo en 27 cubitos de 3 cent¨ªmetros de lado con objeto de convertirlos en otros tantos dados. Durante la operaci¨®n, puede reagrupar como desee los trozos resultantes de cada corte para serrarlos juntos. ?Cu¨¢ntos cortes tendr¨¢ que hacer, como m¨ªnimo, para dividir el cubo en 27 cubitos?

2. Un ni?o sale de casa con un paquete de caramelos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta qu¨¦ ha hecho con ellos y el ni?o contesta:

-A cada amigo que me he encontrado le he dado la mitad de los caramelos que ten¨ªa m¨¢s uno.

-?Y a cu¨¢ntos amigos te has encontrado?

-A seis.

?Cu¨¢ntos caramelos ten¨ªa el ni?o al salir de casa?

3. Tenemos seis n¨²meros naturales (enteros y positivos) comprendidos entre los diez primeros. Al menos cinco de ellos son distintos, y pueden dividirse en dos grupos de tres de forma que la suma de los n¨²meros de un grupo sea igual a la suma de los del otro, y la suma de los cuadrados de los de un grupo sea igual a la suma de los cuadrados de los del otro. ?Qu¨¦ n¨²meros son?