Soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: Yoda y la prueba del 9
Todos los n¨²meros salvo el 0 tienen la misma probabilidad de obtener el G¨²gol-reintegro
Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico extraordinario de Navidad presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola con motivo del sorteo de la loter¨ªa. Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola present¨® el desaf¨ªo, y nos da ahora la soluci¨®n.
Recordemos que el desaf¨ªo era doble: por qu¨¦ se llama G¨²gol Loter¨ªa y cu¨¢l es la probabilidad que tiene cada n¨²mero de obtener un Gugol-reintegro, que puede o no ser la misma para todos.
El motivo por el que se llama G¨²gol Loter¨ªa es simple: participan 10^100 (1 uno seguido de 100 ceros; usaremos ^para indicar una potencia) n¨²meros, y 10^100 se llama un G¨²gol. Por cierto, parece que Google es una forma err¨®nea de deletrear Googol, que es como se escribe G¨²gol en ingl¨¦s.
Aclarada la cuesti¨®n ling¨¹¨ªstica, que han resuelto correctamente casi todos los participantes, el verdadero desaf¨ªo matem¨¢tico es dar la probabilidad que tiene cada n¨²mero de obtener el G¨²gol-reintegro.
El 0 (100 ceros) nunca puede obtener el G¨²gol-reintegro, porque es el ¨²nico n¨²mero con G¨²gol-d¨ªgito 0. Veamos qu¨¦ pasa con los 10^100-1 n¨²meros restantes.
Muchos lectores recordar¨¢n una regla para saber si un n¨²mero es divisible exactamente entre 9: lo es cuando lo que hemos llamado su G¨²gol-d¨ªgito es precisamente 9. Quiz¨¢s no tantos sepan que se puede decir algo m¨¢s general: para cualquier n¨²mero, su G¨²gol-d¨ªgito es el resto que obtenemos al dividirlo entre 9 (con la peque?a salvedad de que, en lugar de restos entre 0 y 8 los tendremos entre 1 y 9). Por ejemplo, si miramos el 123 su G¨²gol-d¨ªgito es 6, y resulta que 123 entre 9 cabe a 13 y sobran, por supuesto, 6. Esto pasa siempre, y es el motivo por el que funciona "la prueba del 9", que tan bien conocemos los que aprendimos a hacer cuentas antes de que existiesen las calculadoras.
Como esta observaci¨®n sobre la relaci¨®n entre el G¨²gol-d¨ªgito y la divisi¨®n entre 9 es fundamental para resolver el desaf¨ªo, la demostraremos (al fin y al cabo, estamos en un desaf¨ªo matem¨¢tico), pero escribi¨¦ndola s¨®lo para n¨²meros de 4 cifras, digamos abcd.
Si recordamos que d son la unidades, c las decenas, etc., y dividimos entre 9, tendremos un cociente Q y un resto R:
abcd=a x 1000+b x 100+c x 10+d=9 x Q+R
Dividimos tambi¨¦n entre 9 la suma de los d¨ªgitos, obteniendo de nuevo un cociente q y un resto r:
a+b+c+d=9 x q+r
Si restamos estas dos igualdades resulta
a x 999+b x 99+c x 9=9 x (Q-q)+R-r,
o lo que es lo mismo,
R-r=9 x (a x 111+b x 11 +c +q-Q),
de modo que la diferencia de los restos, R-r, es m¨²ltiplo de 9. Pero como R y r est¨¢n entre 0 y 8, debe ser R-r=0 . Es decir, R=r: los restos correspondientes al n¨²mero y a la suma de sus cifras coinciden. Si repetimos hasta llegar a un solo d¨ªgito, el G¨²gol-d¨ªgito, este tiene que ser el resto al dividir entre 9 el n¨²mero original, salvo que el G¨²gol-d¨ªgito ser¨¢ 9, y no 0, si el n¨²mero es divisible entre 9.
Como consecuencia, obtienen G¨²gol-reintegro los n¨²meros que dan el mismo resto que el Gordo al dividirlo entre 9. Esto clasifica a los n¨²meros que nos interesan en 9 clases, cada una con
(10^100-1)/9=1111¡1111 (100 unos en total) elementos.
Como el Gordo no recibe G¨²gol-reintegro, los casos favorables son 1 menos, y por tanto la probabilidad (casos favorables entre casos posibles) de que un n¨²mero distinto del 0 reciba un G¨²gol-reintegro es (pedimos disculpas por la profusi¨®n de par¨¦ntesis)
(((10^100-1)/9)-1)/10^100=(1111¡1111-1)/10^100=1111¡1110/10^100=0,1111¡1111 (99 unos en total).
En particular vemos que todos los n¨²meros, salvo el 0000¡0000, tienen la misma probabilidad de obtener el G¨²gol-reintegro. Xabier L. C sugiere que, para compensar esta flagrante injusticia, en caso de salir el 0 gane no s¨®lo el Gordo, sino tambi¨¦n todo el dinero originalmente asignado a G¨²gol-reintegros. De ese modo la ganancia esperada de todos los n¨²meros volver¨¢ a ser la misma.
Obs¨¦rvese tambi¨¦n que en el denominador (casos posibles) s¨ª incluimos el 0 porque, aunque no puede ganar el G¨²gol-reintegro, s¨ª puede ser el n¨²mero que salga como Gordo.
A pesar del poco tiempo del que los lectores han dispuesto este a?o para enviar sus soluciones (pedimos disculpas por ello), se han recibido en el plazo marcado m¨¢s de 380, procedentes no s¨®lo de Espa?a, sino tambi¨¦n de diversos pa¨ªses europeos (Alemania, Francia, Rep¨²blica Checa, Reino Unido, Suiza) y americanos (Chile, Estados Unidos, M¨¦xico). Javier C., que debe ser qui¨¦n dobla a Yoda, nos ha remitido su soluci¨®n en impecable idioma de Tatooine, que por suerte hemos podido traducir.
Aproximadamente un 6% de las respuestas son incompletas, en general porque han se?alado que no todos los n¨²meros tienen la misma probabilidad de ganar el G¨²gol-reintegro, pero no han dicho cu¨¢les son las probabilidades. Aproximadamente un 24% se han despistado y han dado respuestas err¨®neas. Y hay un 15% que han dado con las probabilidades exactas.
Se preguntar¨¢n los lectores qu¨¦ pasa con el 55% restante. Pues que han dado respuestas casi correctas. Tan "casi" que creemos que ning¨²n instrumento terrestre de medida podr¨ªa detectar la diferencia. Pero las matem¨¢ticas s¨ª pueden y, atendiendo al esp¨ªritu l¨²dico pero riguroso de los desaf¨ªos, tienen medalla de plata, pero no de oro.
Los dos despistes mayoritarios entre los "casi" han sido:
- Olvidarse de que el Gordo no gana el G¨²gol-reintegro y decir que el 0 tiene probabilidad 1/10^100 y los dem¨¢s 0,1111¡1111 con 100 unos, no con 99.
- Olvidarse de que el 0, aunque no puede ganar el G¨²gol-reintegro, s¨ª puede ser el Gordo, y no hay que quitarlo del denominador.
Una respuesta muy frecuente, que los n¨²meros distintos del 0 tienen probabilidad 1/9, combina ambos errores: considera un caso favorable m¨¢s y un caso posible menos, con lo que se obtiene
(((10^100)-1)/9)/(10^100-1)=1/9.
?Por qu¨¦ no decimos simplemente que est¨¢ mal? Pues porque todos esos lectores se han dado cuenta de que el G¨²gol-d¨ªgito se correspond¨ªa de alg¨²n modo con el resto al dividir entre 9, que era el mensaje matem¨¢tico que quer¨ªan transmitirnos desde la lejana galaxia.
Esto lo han hecho de diversas maneras, tanto entre las platas como entre los oros. Unos pocos, utilizando la idea t¨¦cnica de congruencias. Otros, como Carlos de C., parece que descubren esta idea sin conocerla de antemano, lo que tiene especial m¨¦rito y les felicitamos por ello. La mayor¨ªa, lo han hecho experimentando con n¨²meros de menos cifras (?una muy buena idea!) y d¨¢ndose cuenta de cu¨¢l era el patr¨®n que emerg¨ªa.
En particular Alberto L., que se define como "Renegado" por desobedecer los consejos, ha experimentado con un ordenador (no es el ¨²nico). Pero s¨®lo para n¨²meros de 8 cifras porque, como nos se?ala, su programa, que calcula 400 G¨²gol-d¨ªgitos por segundo, tardar¨ªa 932640940698958426597427403229175993076073656250932640940698958426597427403229175993076073 a?os en calcular uno a uno los G¨²gol-d¨ªgitos de los 10^100 n¨²meros que entran en el sorteo. Una demostraci¨®n pr¨¢ctica de que las m¨¢quinas, util¨ªsimas como son, no pueden sustituir del todo a la capacidad de razonamiento del cerebro humano.
La RSME ha decidido enviar un ejemplar del libro Gardner para principiantes, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM, a tres lectores seleccionados por la sociedad de entre los que hemos llamado oros. Son Jordi F., M? Jos¨¦ E. M. y Zenaida H.
Hay¨¢is dado o no con la respuesta correcta, espero que el desaf¨ªo os haya resultado interesante. En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, os deseo felices fiestas ?y suerte con la loter¨ªa!
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