Por qu¨¦ es m¨¢s probable ganar algo con la Loter¨ªa del Ni?o que con la de Navidad

Regres¨¦ a la Dehesa de Campoamor (Alicante) procedente de Suecia a mediod¨ªa del d¨ªa cinco. Al poco de llegar, me dirig¨ª, junto con mi hija Ruth y sus primos, a comprar un d¨¦cimo de la Loter¨ªa del Ni?o. Soy cient¨ªfico, pero jam¨¢s me quedo sin comprar una participaci¨®n para ese sorteo. Mi sobrino Mario, que va para matem¨¢tico, se extra?¨®:

¡ª ?Por qu¨¦ vas a comprar Loter¨ªa de Navidad? ?No dicen los cient¨ªficos que es imposible que te toque?

¡ª Comprar¨¦ Loter¨ªa del Ni?o, no es lo mismo ¡ªcontest¨¦¡ª. Hay muchas m¨¢s posibilidades en este caso.

Al existir 100.000 n¨²meros en uno de los bombos del sorteo, la probabilidad de que te toque el Gordo de Navidad es de 0,00001, seg¨²n la Teor¨ªa Anal¨ªtica de la Probabilidad que el famoso astr¨®nomo, f¨ªsico y matem¨¢tico franc¨¦s Pierre-Simon Laplace plante¨® en el siglo XVIII.

Seg¨²n la Regla de Laplace, cuando un experimento aleatorio es regular, es decir, que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir o son equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el n¨²mero de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles).

Es decir, en el caso de mi d¨¦cimo de la Loter¨ªa de Navidad, la Regla de Laplace me permite saber que P (probabilidad de que me toque) es igual a n¨²meros que juego/n¨²meros que hay en el bombo. En definitiva, P = 1/100.000, o sea, tengo una probabilidad de 0,00001 de ser agraciado con el premio Gordo. Viene a ser como si yo se?alara una palabra al azar en uno de mis libros preferidos, El Hobbit, de J. R. R. Tolkien, que tiene unas 300 p¨¢ginas y 100.000 palabras, y vosotros intentarais acertarla a la primera.

Os pondr¨¦ otro ejemplo. Imaginad que voy a un campo de f¨²tbol y os llamo por tel¨¦fono para preguntaros en cu¨¢l de las 100.000 localidades me he sentado. ?Acertar¨ªais el lugar exacto?

¡ª Ni de broma ¡ªconcluy¨® Mario con cierta pesadumbre¡ª. ?Y comprando m¨¢s d¨¦cimos tendr¨ªas m¨¢s posibilidades de ganar?

¡ª La probabilidad aumentar¨ªa, pero la esperanza matem¨¢tica de la ganancia, es decir, la cantidad media de veces que se ?espera? que ocurra un suceso (en este caso el dinero que esperamos ganar) bajar¨ªa.

En realidad, cuanto m¨¢s compres, mayor es la esperanza de perder. Por eso funciona el juego.

Chicos, Loter¨ªas y Apuestas del Estado destina a premios solo el 70% de lo que recauda, por lo que siempre tiene margen de beneficios. Adem¨¢s, Hacienda se queda con el 20% de cada premio que supera los 2.500 euros.

Ya lo dijo el presidente estadounidense Thomas Jefferson: ?El desconocimiento de las matem¨¢ticas convierte la loter¨ªa en un impuesto que recae solo en aquellos que quieren pagarlo de buena gana?.

¡ª Por cierto, la abuela compra todos los a?os el mismo n¨²mero. Dice que alg¨²n d¨ªa tocar¨¢. ?Si haces eso se elevan tus posibilidades de ganar?

¡ª No. Imagina que vas a jugar durante 60 sorteos seguidos. Pues bien, elijas la lista de 60 n¨²meros que elijas (los n¨²meros pueden ser los mismos o no y se entiende que el primer sorteo juegas al primer n¨²mero de la lista, el segundo sorteo al segundo y as¨ª sucesivamente) la probabilidad de que te toque alguna de las 60 veces la loter¨ªa es siempre la misma: 1-(99999/100000)^{60=0,0005998.}

Este n¨²mero sale de lo siguiente. Si llamas A al suceso ¡°te toca ALGUNA vez la loter¨ªa en esos a?os y con esos n¨²meros concretos¡±, entonces el complementario (suceso contrario) de ese suceso es el suceso B ¡°NUNCA te va a tocar¡±. La probabilidad de B es justamente (99999/100000)⁶⁰ y al hacer complementario, se tiene que la p(A)=1-p(B) (la probabilidad de un suceso es siempre 1 menos la probabilidad de su complementario).

La probabilidad de ganar el primer premio es la misma en la Loter¨ªa de Navidad que en la del Ni?o, 1 entre 100.000, pero hay dos diferencias significativas entre ambos sorteos.

Por un lado, los bombos del Sorteo de Navidad hay 100.000 n¨²meros y 5.305 premios, distribuidos entre el Gordo, segundo, tercero, cuartos, quintos y pedreas. Por tanto, la probabilidad de ganar algo es del 5,305 %.

Sin embargo, en el Sorteo Extraordinario del Ni?o hay tambi¨¦n 100.000 n¨²meros, pero se reparten 7.813 premios, por lo que la probabilidad de ganar se eleva al 7,813%.

Tambi¨¦n hay otra diferencia importante entre ambos sorteos. En el de Navidad solo existe el reintegro del primer premio, es decir, nos devuelven los 20 euros gastados si nuestro ¨²ltimo n¨²mero coincide con la ¨²ltima cifra del Gordo. Por el contrario, en el Sorteo del Ni?o hay tres reintegros en vez de uno, lo que triplica la probabilidad de que nos devuelvan el dinero.

Resumiendo: si compramos Loter¨ªa del Ni?o, tenemos en torno al 38% de posibilidades de que nos toque algo o al menos de recuperar el dinero, un porcentaje que se reduce al 14% si adquirimos un d¨¦cimo de Navidad.

¡ª Pues mi padre s¨ª que compra Loter¨ªa de Navidad ¡ªrepuso mi sobrino Mario, dispuesto a no dar su brazo a torcer¡ª. Antes de seleccionar el n¨²mero, encontr¨® el resultado de los ¨²ltimos sorteos de Navidad celebrados y observ¨® que el Gordo ha ca¨ªdo en 63 ocasiones en un n¨²mero comprendido entre el 0 y el 10.000, en 73 en un n¨²mero entre el 10.001 y el 30.000, y en 69 en n¨²meros comprendidos entre el 30.001 y el 99.999. Tambi¨¦n vio que los n¨²meros terminados en cinco han tocado m¨¢s veces que cualquier otro. Adem¨¢s, seg¨²n me dijo, hay ciudades y administraciones que han sido m¨¢s agraciadas que otras. Supongo que t¨² habr¨¢s tenido en cuenta todos estos factores, ?no?

¡ª Mario, no hay n¨²meros con m¨¢s probabilidad de ser agraciados que otros, todos pueden ganar cualquiera de los premios. As¨ª que da igual en qu¨¦ cifra termine o por cu¨¢l empiece. Adem¨¢s, la probabilidad de que el Gordo toque en una administraci¨®n u otra es directamente proporcional a los boletos que haya vendido cada una. Y si ha vendido muchos d¨¦cimos de n¨²meros diferentes, hay m¨¢s posibilidades de que toque que si ha vendido muy pocos. Las administraciones m¨¢s famosas son las que m¨¢s d¨¦cimos venden en Espa?a¡­ Por eso son frecuentemente agraciadas.

Lo mismo ocurre con las ciudades. Si en Madrid se venden m¨¢s d¨¦cimos que en Murcia, hay m¨¢s posibilidades de que el Gordo caiga all¨ª.

Pero una cosa debe quedar clara: todos estos factores no afectan en ning¨²n caso a las posibilidades que tiene el comprador de que le toque. Si compras un d¨¦cimo, da igual la ciudad, la administraci¨®n o la terminaci¨®n: tu probabilidad individual de que te toque el Gordo no cambia, es 0,00001.

Este art¨ªculo fue publicado originalmente en The Conversation. Lea el original.