Un matem¨¢tico espa?ol cree que ha resuelto un problema de hace medio siglo

La comunidad matem¨¢tica internacional sigue con inter¨¦s el trabajo de Francisco Santos, matem¨¢tico de la Universidad de Cantabria, quien cree que ha resuelto un problema de m¨¢s de 50 a?os de antiguedad, la llamada Conjetura de Hirsch. Aunque el resultado a¨²n no ha sido publicado oficialmente algunos de los principales expertos del ¨¢rea ya lo han revisado, informa el servicio de informaci¨®n i-Math. Santos (Valladolid, 1968) es catedr¨¢tico de Geometr¨ªa y Topolog¨ªa y dice que ha dado con una soluci¨®n m¨¢s sencilla de lo que ¨¦l mismo esperaba.

En matem¨¢ticas, una conjetura es una afirmaci¨®n hecha sin pruebas y supone, por tanto, un reto para los investigadores, que deben demostrar que es cierta o falsa. La conjetura de Warren M. Hirsch (1918-2007) fue enunciada en 1957 y desde entonces ha sido objeto de numerosos ataques que no han tenido ¨¦xito: "Ha resistido bastante bien el paso del tiempo", afirma Santos.

Esta conjetura tiene que ver con un algoritmo ¨²til, en ¨²ltima instancia, para optimizar recursos en numerosas aplicaciones. Se trata del algoritmo del s¨ªmplex y sirve desde para asignar horarios y turnos en grandes empresas hasta para planificar la producci¨®n o las carteras de inversi¨®n; formular estrategias de mercado; o dise?ar redes ferroviarias, a¨¦reas o de carreteras. Es, por tanto, un algoritmo con gran impacto en el ¨¢mbito industrial, de hecho es uno de los 10 "m¨¢s influyentes en el desarrollo de la ciencia y la ingenier¨ªa del siglo pasado", seg¨²n una selecci¨®n elaborada por expertos para la revista Computing in Science and Engineering

La Conjetura de Hirsch est¨¢ relacionada con la complejidad de este algoritmo, un aspecto importante de cara a las aplicaciones. Lo que viene a decir la conjetura es que hay un l¨ªmite determinado para la complejidad del algoritmo del s¨ªmplex, pero Santos demuestra que esto es falso: ¨¦l ha encontrado un contraejemplo en el que el algoritmo es m¨¢s complejo que el tope establecido por la conjetura. "Aunque mi contraejemplo supera este l¨ªmite en relativamente poco, tiene el efecto de romper una barrera psicol¨®gica", explica el matem¨¢tico.

Santos empez¨® a pensar en el problema en 2002 a ra¨ªz de un encuentro en Seattle (EE UU) con Victor Klee, un matem¨¢tico ya entonces retirado pero autor de los avances m¨¢s importantes hasta entonces en la Conjetura de Hirsch. "Durante una agradable conversaci¨®n en el departamento de matem¨¢ticas Klee me pregunt¨®:?Por qu¨¦ no tratas de demostrar que la Conjetura de Hirsch es falsa?", explica Santos. "M¨¢s tarde descubr¨ª que Klee formulaba la misma pregunta a mucha gente, incluyendo a todos sus alumnos, pero la pregunta y la forma en que la plante¨® me hicieron sentir especial en ese momento".

En 2007, durante un a?o sab¨¢tico en la Universidad de California, Santos se meti¨® de lleno en el reto de Klee. Y hace poco tuvo su momento Eureka: "Pasas mucho tiempo d¨¢ndole vueltas a las cosas y de repente un buen d¨ªa te das cuenta de algo que puede ser una tonter¨ªa, pero en la que no hab¨ªas ca¨ªdo antes".

El plan original de Santos era presentar su contraejemplo a la comunidad matem¨¢tica el pr¨®ximo julio en Seattle, en un congreso homenaje a Klee ; as¨ª lo hab¨ªa adelantado en el resumen -ya p¨²blico- de su intervenci¨®n. Pero dado el inter¨¦s suscitado lo presentar¨¢ antes, en peque?as reuniones en Francia, Suiza y Portugal las pr¨®ximas semanas.

Si se dejan de lado las aplicaciones, la Conjetura de Hirsch dice c¨®mo de grande puede llegar a ser un poliedro -un cubo, una pir¨¢mide...- de cualquier dimensi¨®n. O, en otras palabras, cu¨¢ntas aristas del poliedro hay que recorrer para conectar los dos puntos del poliedro m¨¢s alejados entre s¨ª. Para eso se puede pensar en el poliedro como una red, en la que los nodos son los v¨¦rtices. Santos pone un ejemplo: "La red puede estar formada por los vuelos de todas las compa?¨ªas a¨¦reas; los nodos son los aeropuertos, y lo que queremos saber es cu¨¢ntos vuelos hay que coger para ir de Madrid a Taiwan. Esto es lo que hace el algoritmo del s¨ªmplex". Otro ejemplo sencillo es el problema al que se enfrentan millones de personas cada ma?ana cuando deciden su ruta al trabajo: ?Qu¨¦ recorrido les supone un menor n¨²mero de transbordos de metro?

?Qu¨¦ implicaciones tiene este resultado? "Hubiera tenido m¨¢s si hubiera demostrado que la conjetura es correcta. Lo que s¨ª puede abrir v¨ªas interesantes para entender mejor el algoritmo del s¨ªmplex es el m¨¦todo que he desarrollado para encontrar este contraejemplo", afirma el investigador de la Universidad de Cantabria. La Conjetura de Hirsch es falsa, pero el trabajo no ha terminado.