Un enorme n¨²mero que acaba... en 52

Ya hay soluci¨®n para el noveno desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Alberto Elduque, catedr¨¢tico de ?lgebra de la Universidad Zaragoza propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora: la enorme potencia de dos que busc¨¢bamos acaba en 52. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Pablo Pajuelo Cabezas. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Una nueva manera de ver el mundo, de Mar¨ªa Isabel Binimelis.

Esta semana se han recibido 2.200 respuestas, de las que un 90% daban la respuesta correcta: las dos ¨²ltimas cifras de la enorme potencia de 2 son 52. La mayor¨ªa inclu¨ªan un argumento razonable, aunque en alg¨²n caso faltase alg¨²n detalle, pero un 5% se limitaban a decir "Da 52", con lo que no cumpl¨ªan las condiciones establecidas esta semana. Por tanto se han considerado v¨¢lidas, y han entrado en el sorteo, un 85% de las respuestas.

Recordemos el problema: Hemos copiado mal una potencia de 2. S¨®lo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301. Hay que calcular cu¨¢les ser¨ªan las dos ¨²ltimas cifras de tan enorme n¨²mero.

Los argumentos aceptados van desde simplemente observar la aparici¨®n c¨ªclica de las dos ¨²ltimas cifras, a darse cuenta de que 76x76=**76, hasta argumentos muy limpios, pero que necesitan m¨¢s lenguaje, usando congruencias.

La soluci¨®n propuesta por el profesor Elduque es la siguiente:

Buscamos posibles regularidades en las dos ¨²ltimas cifras de las potencias de 2. Exceptuando la primera: 2^1 = 2, el resto de potencias es un m¨²ltiplode 4, luego sus dos ¨²ltimas cifras forman un m¨²ltiplo de 4 entre 0 y 99, que no puede acabar en 0, pues el n¨²mero no es m¨²ltiplo de 5. Nos quedan 20 posibles terminaciones para las potencias de 2^a a con a igual o mayor que 2. En consecuencia, partiendo de 2^2, habr¨ªa alguna repetici¨®nde las dos ¨²ltimas cifras en las veinte potencias siguientes:

2^2 : 04

2^3 : 08

2^4 : 16

2^5 : 32

2^6 : 64

2^7 : 28

2^8 : 56

2^9 : 12

2^10 : 24

2^11 : 48

2^12 : 96

2^13 : 92

2^14 : 84

2^15 : 68

2^16 : 36

2^17 : 72

2^18 : 44

2^19 : 88

2^20 : 76

2^21 : 52

2^22 : 04

2^23 : 08

2^24 : 16

...

Comprobamos pues que a partir de 2^2, las dos ¨²ltimas cifras se repiten de 20 en 20. Esto es: 2^(20+a)= 100 + 2^a (m¨²ltiplo de m100 m¨¢s 2^a) si a es mayor o igual que 2.

Nuestro n¨²mero inmenso es 2^528......7301 = 2^(528......7280+21) = 2^(20+21), luego las dos ¨²ltimas cifras de nuestro n¨²mero son las de 2^21. As¨ª pues, la soluci¨®n es 52.

Nota: Hay trucos para no tener que calcular las ¨²ltimas cifras de todas las potencias de 2 anteriores. Por ejemplo:

2^(20+a)= 2^10 x 2^10 x 2^a = (m25-1) x (m25- 1) x 2^a = (m25 + 1) x 2^a = m100 + 2^a; si a es mayor o igual que 2, pues todo m¨²ltiplo de 25 por un m¨²ltiplo de 4 es m¨²ltiplo de 100.

Esta semana quiz¨¢s sea interesante comentar la respuesta incorrecta m¨¢s frecuente: el n¨²mero termina en 00. Esto no puede ser porque un n¨²mero que termina en 0 es m¨²ltiplo de 10, y por tanto m¨²ltiplo de 5, pero nuestro n¨²mero no tiene factores primos distintos de 2. ?C¨®mo han llegado pues algunos de nuestros lectores a la soluci¨®n 00? Parece por las respuestas que, en la mayor¨ªa de los casos, usando un ordenador, pero sin darse cuenta de que los programas que usaban tienen precisi¨®n limitada y truncan los n¨²meros (igual que hace una calculadora) cuando superan un cierto tama?o. As¨ª los ceros que aparec¨ªan cuando calculaban, por ejemplo, 2^54, no eran los n¨²meros finales, sino n¨²meros intermedios, y no es v¨¢lido el argumento de "a partir de ah¨ª todos acaban en 00 porque 0x2=0".

Nuestros lectores de otros pa¨ªses nos preguntan si ellos tambi¨¦n pueden ganar el premio. La respuesta es s¨ª, siempre que den respuestas correctas y resulten agraciados en el sorteo. Respuestas correctas ya han enviado. Que ninguno haya resultado todav¨ªa agraciado refleja ¨²nicamente que, como es l¨®gico, son menos.

El n¨²mero enorme termina en 52

Una enorme potencia de 2