C¨®mo tapar una mesa
Philippe Gimenez , profesor titular del Departamento de ?lgebra, Geometr¨ªa y Topolog¨ªa de Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid, presenta el vigesimocuarto de los desaf¨ªos matem¨¢ticos con los que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.
Env¨ªa tu soluci¨®n antes de las 00.00 horas del lunes 29 de agosto (medianoche del domingo, hora peninsular espa?ola) a la direcci¨®n desafiodeagosto5@gmail.com y gana una biblioteca matem¨¢tica como la que cada semana distribuye EL PA?S.
A continuaci¨®n, para aclarar las dudas y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.
Tenemos una mesa rectangular y un n¨²mero suficientemente grande de c¨ªrculos, todos del mismo tama?o. Se consideran dos tipos de distribuciones de c¨ªrculos sobre el tablero:
La primera consiste en poner los c¨ªrculos sobre la mesa, con su centro dentro de ella, de forma que no se superpongan (s¨ª puede haber contacto) y adem¨¢s de forma que no quepa ning¨²n otro c¨ªrculo. En ese caso diremos que se ha llenado la mesa.
En la segunda distribuci¨®n, los c¨ªrculos s¨ª pueden superponerse y se debe conseguir que todos los puntos de la mesa est¨¦n en alguno de ellos (es decir, que no quede a la vista ning¨²n punto del tablero. En ese caso, diremos que se ha tapado la mesa.
El desaf¨ªo consiste en demostrar que si la mesa se puede llenar con un n¨²mero n de c¨ªrculos, entonces se puede tapar con 4n de ellos.
NOTA IMPORTANTE: El planteamiento del desaf¨ªo no dice nada sobre las medidas de los c¨ªrculos ni de la mesa, que son totalmente arbitrarias. No se trata por tanto de calcular el n¨²mero de discos o el tama?o que deber¨ªan tener, sino de justificar que la afirmaci¨®n de que una mesa que se llena con n c¨ªrculos se tapa con 4n c¨ªrculos es siempre cierta.
VER LOS DESAF?OS ANTERIORES Y LOS OTROS CUATRO PROPUESTOS PARA AGOSTO
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