Gaussianos: ¡°Juego a la loter¨ªa aunque matem¨¢ticamente no deber¨ªa¡±

Miguel ?ngel Morales Medina es editor del bolet¨ªn de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (RSME) y responsable de Gaussianos, uno de los blogs sobre n¨²meros m¨¢s populares de Espa?a. Quiz¨¢ muchos lectores lo conozcan tambi¨¦n porque present¨® uno de los 40 desaf¨ªos que EL PA?S plante¨® en 2011. Cada mes de diciembre escribe alg¨²n post sobre el sorteo de la Loter¨ªa de Navidad, de la que compra alg¨²n d¨¦cimo todos los a?os, y tambi¨¦n juega al Euromill¨®n cada semana. Reconoce que en t¨¦rminos estrictamente matem¨¢ticos no deber¨ªa participar en estos sorteos, pero argumenta que adem¨¢s de las probabilidades hay otros factores que no se pueden medir, como la ilusi¨®n de que te toque un gran premio por una peque?a apuesta.

Pregunta: En uno de sus ¨²ltimos post ironizaba sobre las largas colas que se forman ante administraciones de loter¨ªa como la de Do?a Manolita en Madrid. El razonamiento de algunos de esos compradores es ¡°aqu¨ª es mucho m¨¢s probable que toque el Gordo que en la administraci¨®n de mi pueblo¡±.

Respuesta: Salta a la vista que el razonamiento es falaz. Evidentemente, es m¨¢s probable que toque ah¨ª, porque venden un gran volumen de n¨²meros, pero el n¨²mero concreto que compramos tiene las mismas probabilidades de salir que cualquiera de los que se despachan en Do?a Manolita o donde sea.

Un d¨¦cimo comprado en una administraci¨®n grande tiene las mismas probabilidades de tocar que el comprado en cualquier otro sitio¡±

P. Pero mucha gente habla de n¨²meros bonitos, feos, de n¨²meros que es imposible que salgan, por muy bajos o porque tienen muchos n¨²meros repetidos¡­

R. La loter¨ªa es un juego absolutamente justo para todos los n¨²meros. Tengo un familiar que dice que los sorteos est¨¢n todos trucados. Y argumenta que aunque los billetes de loter¨ªa tienen cinco cifras (y hay diez posibles, del cero al nueve) salen m¨¢s veces premiados los n¨²meros con al menos dos repetidas que con todas las cifras diferentes. Pero un an¨¢lisis detallado nos muestra que solo alrededor del 30% de los n¨²meros del cero al 99.999 tienen todas las cifras distintas. Y m¨¢s del doble, el 70% tienen alguna repetida.

P. Algunos se fijan tambi¨¦n en que algunas terminaciones han salido mucho m¨¢s que otras en el sorteo de Navidad. El Gordo ha terminado 32 veces en 5 y solo ocho veces en 1.

R. La cuesti¨®n es que la loter¨ªa de Navidad se juega solo desde hace 200 a?os, el n¨²mero de sorteos es a¨²n muy peque?o y por eso se producen esos resultados que nos parecen raros. Pero cuando hayamos celebrado 7.000 millones de sorteos lo normal es que el porcentaje de aparici¨®n de cada terminaci¨®n est¨¦ m¨¢s cerca del 10% de las veces.

Es m¨¢s probable que el Gordo tenga alguna cifra repetido a que tenga todas distintas¡±

P. M¨¢s cosas raras. Desde hace dos siglos, cuando se realiz¨® el primer sorteo de Navidad, en dos ocasiones se ha repetido el n¨²mero del premio Gordo. En 2006 y 1903 sali¨® el 20.297; y en 1956 y 1978 el 15.640. Aparentemente parece una casualidad muy grande, pero ?es tan extraordinario que esto haya sucedido?

R. No es f¨¢cil calcularlo, porque el n¨²mero de bolas que entran en el bombo ha variado mucho a lo largo de estos 200 a?os. Solo desde 2011 entran 100.000 n¨²meros en sorteo. Y hay que considerar una cosa: tendemos a pensar en los sorteos individualmente pero para analizar esta cuesti¨®n tendr¨ªamos que pensar en parejas de sorteos. Es muy improbable que este a?o caiga el primer premio en un n¨²mero que ya haya salido, pero lo es mucho menos que en dos sorteos cualesquiera se haya repetido el Gordo. Pasa algo parecido con las fechas de cumplea?os: en un grupo de 23 personas no es f¨¢cil que alguien haya nacido el mismo d¨ªa que yo, pero la probabilidad de que al menos dos cumplan en la misma fecha es de m¨¢s del 50%, aunque no lo parezca.

Suponiendo que los 200 sorteos se hubieran celebrado con 100.000 bolas [durante muchos a?os se met¨ªan al bombo bastantes menos] la probabilidad de que hubieran coincidido dos n¨²meros Gordos habr¨ªa sido de 0,180559 (el 18%). Para que la probabilidad de que eso sucediese fuera mayor del 50% (con sorteos de 100.000 bolas) tendr¨ªan que pasar 373 navidades.

P. Usted juega a la loter¨ªa de Navidad y al Euromill¨®n, pero matem¨¢ticamente no parece muy probable que le toque algo, ?no?

R. La probabilidad de ganar el premio m¨¢ximo del Euromill¨®n jugando solo un boleto es de uno entre 116 millones, extremadamente baja. La de sacarte el Gordo de Navidad comprando solo un d¨¦cimo es sensiblemente m¨¢s alta, de uno entre 100.000. Yo a la loter¨ªa tambi¨¦n le veo otra ventaja, al menos psicol¨®gica, y es que normalmente le toca a alguien, porque es raro que un n¨²mero se quede sin vender, pero el Euromill¨®n muchas semanas no lo gana nadie.

De todas formas, la probabilidad por si sola no es determinante. En los juegos hay que calcular la esperanza matem¨¢tica, lo que esperamos llevarnos por cada apuesta. Para obtenerla multiplicamos la cantidad ganada si se acierta, por la probabilidad de acertarlo. Tanto para el Gordo de la Navidad como para el Euromill¨®n la esperanza es desfavorable para el jugador, como no podr¨ªa ser de otra forma

Si compras un d¨¦cimo no solo compras una probabilidad, tambi¨¦n compras la ilusi¨®n de ganar mucho por una peque?a apuesta¡±

P. Entonces... siempre que la esperanza es desfavorable matem¨¢ticamente no conviene jugar y cuando es favorable te¨®ricamente s¨ª que nos interesa...

R. S¨ª, se puede decir que matem¨¢ticamente conviene jugar si la esperanza es positiva, ya que ello indica que se espera que ganes m¨¢s dinero del que apuestas. Pero recordemos que la esperanza matem¨¢tica representa el dinero que de media ganar¨¢ cada jugador, por lo que ni mucho menos es seguro que vayamos a ganar algo. Sobre este tema de la esperanza existe un interesante problema conocido como paradoja de San Petersburgo que puede formularse de la siguiente manera:

Supongamos que le propongo pagar por jugar al siguiente juego: yo realizo lanzamientos de una moneda hasta que sale una cruz por primera vez, y usted se lleva una cantidad de euros igual a dos elevado al n¨²mero de lanzamientos que yo haya realizado. Por ejemplo, si la primera cruz sale en el cuarto lanzamiento usted se llevar¨¢ 16 euros, si sale en el s¨¦ptimo se llevar¨¢ 128, etc.

Si calculamos la esperanza de este juego nos sale que es infinita. Es decir, se espera que cualquier jugador gane infinitos euros jugando. La pregunta es: ?cu¨¢nto dinero estar¨ªa dispuesto a pagar al principio? Si yo le pidiera 10 euros para jugar, ?aceptar¨ªa? ?Y si le pidiera 100.000? La paradoja est¨¢ en que matem¨¢ticamente hablando podr¨ªamos decir que usted deber¨ªa estar dispuesto a pagar cualquier cantidad de dinero inicialmente, ya que espera obtener una ganancia infinita, pero en realidad no parece muy l¨®gico pagar mucho dinero para jugar debido a que es muy probable que la primera cruz salga en unas pocas tiradas.

P. As¨ª que usted se pensar¨ªa mucho participar en ese juego pero compra d¨¦cimos para Navidad¡­

R. Siendo estrictamente racional no jugar¨ªa a la loter¨ªa pero por suerte no somos m¨¢quinas y nos influyen muchos m¨¢s factores: al comprar un billete no solo compras una probabilidad, compras la ilusi¨®n de poder tener muchas cosas si te toca el premio por un poco de dinero que te has gastado. Y luego hay otro razonamiento que hacemos muchas veces: ¡°Voy a desayunar al mismo sitio todos los d¨ªas, me ofrecen un d¨¦cimo, digo que no y a ver si el d¨ªa 22 voy a ser yo el tonto que no ha comprado¡­¡±.