As¨ª se hace feliz a una carita

Vicente Mu?oz Vel¨¢zquez, profesor de la Universidad Complutense de Madrid, resuelve el quinto desaf¨ªo matem¨¢tico que este verano planteamos a nuestros lectores (puede ver aqu¨ª el v¨ªdeo). Una vez realizado el sorteo entre las respuestas correctas el ganador de la colecci¨®n de libros Grandes Ideas de la Ciencia ha sido Eduardo Pardo, radiof¨ªsico del Hospital Universitario Quir¨®n de Madrid.

Para evitar confusiones y en atenci¨®n tambi¨¦n a nuestros lectores sordos incluimos la soluci¨®n por escrito a continuaci¨®n:

En primer lugar, vemos que apretar una casilla dos veces no tiene efecto, y apretarla un n¨²mero impar de veces es equivalente a apretarla una sola vez. Por tanto, podemos limitarnos a considerar que cada casilla se puede apretar 0 o 1 veces. Esto da un total de 2^576 combinaciones posibles como patrones de apretar (el tablero tiene 576 casillas). Los posibles resultados (dibujos de luces encendidas/apagadas) son de nuevo 2^576. Por tanto, para que haya un dibujo de casillas iluminadas que no se pueda conseguir, basta con encontrar un dibujo que se pueda encontrar de dos formas distintas.

En el enunciado se da un patr¨®n, que llamaremos A, que da como resultado la carita feliz. El sim¨¦trico de A respecto al eje vertical, lo llamamos A*, es distinto de A, pero tambi¨¦n da la carita feliz (la clave es que A no es sim¨¦trico y la carita feliz s¨ª lo es). Por tanto, ya tenemos dos patrones, A y A*, que dan el mismo dibujo de luces.

Para la segunda parte, nos fijamos en el patr¨®n que se obtiene al presionar A y a continuaci¨®n A* (comenzando con todas las luces apagadas). A este patr¨®n lo llamaremos A+A* (notemos que si una casilla se aprieta dos veces, porque se apriete tanto en A como en A*, entonces es como si no se apretase). Si presionamos las casillas seg¨²n A+A*, entonces quedan todas las luces apagadas, dado que al apretar A encendemos las luces de la carita feliz, y al presionar A* apagamos exactamente las mismas casillas. Llamemos B = A+A*. Entonces B es un patr¨®n que deja el tablero completamente apagado.

Para la segunda pregunta, basta con comprobar que aquellas configuraciones de luces alcanzadas (partiendo del tablero con todas las luces apagadas) lo son de al menos dos maneras: si escribimos B = A+ A*, entonces cualquier configuraci¨®n de luces que se alcance con un patr¨®n R se alcanza tambi¨¦n con el patr¨®n B+R. Por tanto, no podr¨¢ haber m¨¢s de (2^576)/2 configuraciones de luces que se pueden conseguir.

Nota: El juego electr¨®nico al que alude el desaf¨ªo es el conocido como Lights Out. Hay numerosas versiones del juego para tablet, m¨®vil y ordenador.

?Uno de los problemas m¨¢s interesantes es para qu¨¦ valores de n son alcanzables todas las configuraciones si se juega en un tablero n x n, y cu¨¢l es la proporci¨®n de luces alcanzables. Se puede encontrar en esta tabla (cuya primera columna indica el tama?o "n" y en la segunda "m" indica que 1/m son alcanzables). Quienes est¨¦n interesados en una f¨®rmula cerrada y en c¨®mo obtenerla pueden encontrarla aqu¨ª.

Con este desaf¨ªo se terminan los retos matem¨¢ticos que planteamos este verano. Pero solo nos despedimos de forma provisional. Pronto volveremos con m¨¢s matem¨¢ticas. Muchas gracias a todos por participar