Fullerenos, balones y c¨²pulas geod¨¦sicas

Si en un apretado haz de flechas hexagonal contamos 18 en su parte exterior, como vimos la semana pasada, podemos calcular el total de flechas a partir de un esquema como el de la figura, en el que es f¨¢cil ver que son 37. Y el esquema tambi¨¦n muestra, contando las capas sucesivas, la secuencia de los n¨²meros hexagonales centrados: 1, 7, 19, 37¡­, cuyo en¨¦simo t¨¦rmino es 3n (n ¨C 1) + 1. ?Qu¨¦ relaci¨®n podemos establecer entre los n¨²meros hexagonales centrados y los n¨²meros triangulares, vistos en...

Si en un apretado haz de flechas hexagonal contamos 18 en su parte exterior, como vimos la semana pasada, podemos calcular el total de flechas a partir de un esquema como el de la figura, en el que es f¨¢cil ver que son 37. Y el esquema tambi¨¦n muestra, contando las capas sucesivas, la secuencia de los n¨²meros hexagonales centrados: 1, 7, 19, 37¡­, cuyo en¨¦simo t¨¦rmino es 3n (n ¨C 1) + 1. ?Qu¨¦ relaci¨®n podemos establecer entre los n¨²meros hexagonales centrados y los n¨²meros triangulares, vistos en semanas anteriores?

Si el esquema no representara el corte transversal de un haz de flechas, sino una bandeja de galletas a punto de ser horneadas, que al cocerse aumentar¨¢n de tama?o de forma homog¨¦nea en todas direcciones, ?qu¨¦ configuraci¨®n ver¨ªamos al sacar la bandeja del horno?

En cuanto al bal¨®n de f¨²tbol convencional, es, como vimos, un icosaedro truncado hinchable, o sea, un poliedro con 32 caras, 60 v¨¦rtices y 90 aristas, lo que significa que para coser entre s¨ª las 32 piezas (12 pent¨¢gonos y 20 hex¨¢gonos) de un bal¨®n hay que realizar 90 costuras. Si en vez de un icosaedro truncado us¨¢ramos como modelo el m¨¢s id¨®neo (desde el punto de vista de la esfericidad) rombicosidodecaedro, tendr¨ªamos que coser entre s¨ª 62 caras y necesitar¨ªamos 120 costuras, que es el n¨²mero de aristas de este s¨®lido arquimediano. Esta es la raz¨®n por la que se ha impuesto el icosaedro truncado como modelo del bal¨®n, pues permite obtener una esfericidad muy aceptable con un notable ahorro de trabajo en la confecci¨®n.

La identificaci¨®n del bal¨®n de f¨²tbol con el icosaedro truncado ha pasado del ¨¢mbito del deporte al de la qu¨ªmica, pues se denomina ¡°futboleno¡± a la mol¨¦cula C60, formada, como indica su f¨®rmula cuantitativa, por 60 ¨¢tomos de carbono, que est¨¢n dispuestos como los v¨¦rtices de un icosaedro truncado. Como en cada v¨¦rtice confluyen 3 aristas, cada ¨¢tomo de carbono se une a otros dos mediante sendos enlaces simples y a un tercero mediante un enlace doble.

Aunque se ha popularizado el nombre ¡°futboleno¡±, tanto por su brevedad como por su referencia a un objeto tan conocido como el bal¨®n de f¨²tbol, su nombre originario es ¡°buckminsterfullereno¡±, en honor del arquitecto e inventor estadounidense Richard Buckminster Fuller, creador de las famosas c¨²pulas geod¨¦sicas, grandes estructuras poli¨¦dricas generadas, habitualmente, a partir del icosaedro y estructuralmente similares a la macromol¨¦cula carb¨®nica.

Al¨®tropos del carbono

El futboleno o buckminsterfullereno forma parte de una familia de macromol¨¦culas, denominadas fulerenos o fullerenos, compuestas por un gran n¨²mero de ¨¢tomos de carbono que adoptan configuraciones esferoidales, elipsoidales, anulares o tubulares.

Hasta hace poco solo se conoc¨ªan dos formas alotr¨®picas (estructuras moleculares distintas) del carbono: el grafito y el diamante. En el grafito, los ¨¢tomos de carbono cristalizan en el sistema hexagonal formando l¨¢minas que se deslizan f¨¢cilmente unas sobre otras; de ah¨ª su utilizaci¨®n para fabricar minas de l¨¢pices, y de ah¨ª tambi¨¦n el propio nombre del grafito (del griego graphein, escribir). En el caso del diamante, los ¨¢tomos de carbono cristalizan formando una estructura c¨²bica centrada, dado lugar a un material de gran dureza y conductividad t¨¦rmica (las mayores conocidas). Pero en 1985 se descubri¨® el futboleno, C sub¨ªndice 60, y posteriormente otros fulerenos, que constituyen una tercera forma alotr¨®pica del carbono.

El grafeno se puede considerar una l¨¢mina de grafito de un ¨¢tomo de espesor, un material de extraordinarias propiedades y revolucionarias aplicaciones. Y el menos conocido grafino tambi¨¦n tiene una estructura laminar de un ¨¢tomo de espesor, aunque distinta de la del grafeno.

El fullereno m¨¢s peque?o es el C20 sub¨ªndice 20 cuya estructura es la de un dodecaedro regular (poliedro formado por 12 pent¨¢gonos regulares, con 20 v¨¦rtices y 30 aristas). Pero los fullerenos m¨¢s interesantes, por sus propiedades y aplicaciones, son los nanotubos, que merecen un cap¨ªtulo aparte (al igual que los al¨®tropos del carbono, cuya lista no deja de crecer).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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