N¨²meros poligonales centrados

Los comentaristas deportivos suelen llamarlo ¡°el esf¨¦rico¡±, pero el bal¨®n de f¨²tbol no es una esfera perfecta, sino un poliedro hinchable que, una vez lleno de aire, se aproxima bastante a la esfericidad. En su versi¨®n m¨¢s habitual, es un poliedro formado por pent¨¢gonos y hex¨¢gonos regulares. ?Cu¨¢ntos son?, nos pregunt¨¢bamos la semana pasada.

La respuesta es 32: 20 hex¨¢gonos y 12 pent¨¢gonos. Porque el poliedro futbol¨ªstico es un icosaedro truncado. Dividiendo todas las aristas de un icosaedro regular (poliedro formado por 20 tri¨¢ngulos equil¨¢teros iguales) en tres segmentos iguales y truncando cada v¨¦rtice mediante el plano que pasa por los extremos de los cinco segmentos que concurren en ¨¦l, cada una de las 20 caras del icosaedro se convierte en un hex¨¢gono regular, y cada uno de sus 12 v¨¦rtices, en un pent¨¢gono regular. La f¨®rmula de Euler (C + V = A + 2) nos dice que el icosaedro tiene 30 aristas. ?Cu¨¢ntos v¨¦rtices y aristas tiene el icosaedro truncado?

Una vez hinchado, el poliedro futbol¨ªstico ocupa el 95 % de la esfera circunscrita, lo cual es una aproximaci¨®n bastante buena, pero mejorable. Un rombicosidodecaedro, antes de hincharlo, tiene la misma esfericidad que el icosaedro truncado una vez hinchado, por lo que permite alcanzar, al llenarlo de aire a presi¨®n, una redondez casi perfecta. Est¨¢ formado por 20 tri¨¢ngulos equil¨¢teros, 30 cuadrados y 12 pent¨¢gonos regulares, y esta es la raz¨®n por la que no ha sido adoptado como modelo para la fabricaci¨®n de balones a pesar de su idoneidad, pues implicar¨ªa coser entre s¨ª casi el doble de piezas (?con cu¨¢ntas costuras?).

Las flechas de Mahavira

Volvamos a los n¨²meros poligonales, de los que nos hemos ocupado en semanas anteriores, pues no podemos despedirnos de ellos sin mencionar la interesante variedad de los poligonales centrados. Como su nombre indica, estos n¨²meros se construyen de forma similar a los poligonales simples, pero ordenando los pol¨ªgonos de puntos alrededor de un centro.

As¨ª, los n¨²meros triangulares centrados empiezan con 1 punto rodeado por otros 3 que son los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero (de 2 puntos de lado), rodeado por otro tri¨¢ngulo equil¨¢tero de 3 puntos de lado, rodeado por otro de 4 puntos de lado¡­ Y su secuencia ser¨¢, por tanto:

1, 4, 10, 19¡­

An¨¢logamente, los n¨²meros cuadrados centrados se configuran con un punto central rodeado de cuadrados conc¨¦ntricos de 2, 3, 4¡­ puntos de lado respectivamente, y su secuencia es:

1, 5, 13, 25¡­

?C¨®mo siguen las secuencias? ?Qu¨¦ f¨®rmula general nos da el en¨¦simo t¨¦rmino?

Hay un problema cl¨¢sico relacionado con los n¨²meros poligonales centrados atribuido a Mahavira, matem¨¢tico indio del siglo IX:

En un carcaj hay un cierto n¨²mero de flechas formando un apretado haz hexagonal, de forma que en la parte exterior del haz hay 18 flechas. ?Cu¨¢ntas flechas hay en el carcaj?

Quienes deseen profundizar en el inagotable tema de los n¨²meros poligonales centrados, pueden encontrar en el siguiente enlace un interesante art¨ªculo de Ra¨²l Ib¨¢?ez titulado precisamente El problema de las flechas de Mahavira

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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