Probabilidades sorprendentes

Los n¨²meros vampiros de 4 cifras, como los dos que vimos la semana pasada (1.435 y 2.817), no son muy abundantes; he aqu¨ª algunos m¨¢s:

1.260 = 21 x 60

1.827 = 21 x 87

1.395 = 15 x 93

6.880 = 86 x 80

1.530 = 51 x 30

Hay 155 n¨²meros vampiros de 6 cifras (?puedes hallar alguno?), m¨¢s de 3.000 de 8 cifras y m¨¢s de 100.000 de 10 cifras: su n¨²mero aumenta r¨¢pidamente a medida que crece el n¨²mero de cifras. He aqu¨ª uno de 20 cifras, con el ¡°valor a?adido¡± de que uno de los factores es un pal¨ªndromo formado por los n¨²meros del 1 al 5 en orden creciente y decreciente:

11.311.432.469.283.552.606 = 9.162.361.086 x 1.234.554.321

En cuanto a la secuencia 699, 486, 192, 18, 8, cada t¨¦rmino es el producto de los d¨ªgitos del anterior, y el n¨²mero de pasos necesarios para agotar el proceso (o sea, para llegar a un n¨²mero de una sola cifra) es la ¡°persistencia¡± del n¨²mero; as¨ª, 699 es un n¨²mero de persistencia 4, y el menor n¨²mero de persistencia 4 es el 77, que da lugar a la secuencia:

77, 49, 36, 18, 8

No se conoce (que yo sepa) ning¨²n n¨²mero de persistencia 12, y se ha conjeturado que hay un l¨ªmite, es decir, que existe un n¨²mero n tal que no existe ning¨²n n¨²mero con persistencia mayor que n.

En cuanto al 90.625, tiene la curiosa propiedad de que su cuadrado (y por ende todas sus potencias) termina en 90.625:

90.625 x 90.625 = 82.112.890.625

?Puedes hallar otros n¨²meros de 5 o m¨¢s cifras con esta propiedad?

En el siniestro ¡°juego¡± del t¨ªo Henry (H), la t¨ªa Em (E) y Dorothy (D), es evidente que H tiene un 50 % de probabilidades de sobrevivir, o sea, de ganar. Para que gane E, tiene que morir H y sobrevivir ella, luego su probabilidad es 1/2 x 1/2 = 1/4, o sea, un 25 %. Y para que gane D tienen que morir H y E y sobrevivir ella, luego su probabilidad es 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8, o sea, un 12.5 %; la misma que la de perder, es decir, de que mueran los tres (aunque en este caso habr¨ªa que hablar m¨¢s bien de empate).

M¨¢s probabilidades

Quienes frecuenten la secci¨®n de comentarios habr¨¢n observado que, ¨²ltimamente, mis sagaces lectoras/es est¨¢n mostrando especial inter¨¦s por los problemas de probabilidades, as¨ª que, en mi af¨¢n por complacerles, he seleccionado cuatro un tanto peculiares:

1. Recibes una carta que puede venir de Barcelona o de Girona, pero en el matasellos solo son legibles las letras ON. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que la carta venga de Girona?

2. Se lanza un dado y se introducen en una caja tantas bolas blancas como indica el n¨²mero obtenido, se vuelve a lanzar el dado y se introducen en la caja tantas bolas negras como indica el n¨²mero obtenido, y a continuaci¨®n se saca de la caja una bola al azar. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que sea blanca?

3. Dado un n¨²mero de 7 cifras cuya suma es 59, ?cu¨¢l es la probabilidad de que sea m¨²ltiplo de 11?

4. Un tah¨²r tiene tres monedas en el bolsillo: una con dos caras, una con dos cruces y una normal (con cara y cruz). Saca una moneda al azar, la lanza al aire y sale cara. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que salga de nuevo cara si vuelve a lanzarla?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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