C¨®mo jugar al hipercubo de Rubik cu¨¢ntico

El famoso juego del cubo de Rubik consiste en conseguir, mediante ciertos movimientos, que cada una de las caras del cubo tenga un ¨²nico color. En el universo cu¨¢ntico encontramos un juego parecido: el del hipercubo cu¨¢ntico. Este objeto surge de un modelo de computaci¨®n cu¨¢ntica y el reto consiste en reducir el nivel del hipercubo mediante una serie de movimientos. Los aprendizajes de este juego han permitido demostrar interesantes propiedades de los modelos cu¨¢nticos de computaci¨®n y tambi¨¦n de teor¨ªa de n¨²meros.

En computaci¨®n cu¨¢ntica, la unidad elemental de informaci¨®n es el c¨²bit. Al igual que un bit, en computaci¨®n cl¨¢sica, un c¨²bit puede estar en dos estados, que denotamos con |0¡µ y |1¡µ, pero tambi¨¦n puede estar en estados intermedios, por ejemplo, el estado 0,8|0¡µ + 0,6|1¡µ. Matem¨¢ticamente, se puede expresar cualquier c¨²bit con dos coordenadas, en el ejemplo anterior, (0,8, 0,6). Si tenemos un sistema de dos c¨²bits, el estado de cada uno de ellos se expresa con cuatro coordenadas. Los valores de cada una de estas coordenadas son n¨²meros complejos; es decir, n¨²meros de la forma a + bi, siendo a y b n¨²meros reales e i la unidad compleja, definida como ra¨ªz cuadrada de -1.

Es posible considerar modelos de computaci¨®n m¨¢s sencillos, en los que las coordenadas de los estados cu¨¢nticos no pueden ser cualquier n¨²mero complejo, sino solo aquellos de la forma a + bi, con a y b n¨²meros enteros, salvo un factor que depende de un n¨²mero natural k. Estas coordenadas corresponden a los llamados estados discretos, ya que solo pueden tomar valores discretos, los n¨²meros enteros, de nivel k. Si tenemos un sistema de dos c¨²bits en estado discreto, cada uno se escribir¨¢ (a+ib, c+id, e+if, g+ih), con a, b, c, d, e, f y g n¨²meros enteros. Y su nivel es k si las coordenadas satisfacen la ecuaci¨®n a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 + g2 + h2 = 2^k.

Podemos disponer las coordenadas de cuatro estados discretos de dos c¨²bits en una cuadr¨ªcula, una matriz, como en la Figura 1.a (imagen arriba). Cuando estos estados tienen el mismo nivel k y cumplen cierta propiedad (son ortogonales entre s¨ª), la matriz es una puerta cu¨¢ntica; es decir, un circuito cu¨¢ntico b¨¢sico sobre un peque?o n¨²mero de c¨²bits, discreta de nivel k. En la Figura 1.a, cada fila y columna de la matriz se corresponde con las coordenadas de un 2-c¨²bit discreto de nivel 6, y, por tanto, la matriz es una puerta cu¨¢ntica discreta de ese nivel.

En general, el hipercubo cu¨¢ntico representa una puerta cu¨¢ntica discreta de un determinado nivel k. En el juego de Rubik cu¨¢ntico, el objetivo es bajar el nivel del hipercubo hasta el nivel cero, que corresponde a la matriz formada por ceros, excepto en los elementos de la diagonal principal, que tiene unos. Para ello, los movimientos permitidos son: permutar filas o columnas de la matriz, intercambiar las partes real e imaginaria de una fila o columna, rotar dos filas o columnas y reducir el nivel.

Para ejecutarlos, en lugar de girar el cubo como en el de Rubik, se opera el hipercubo con dos puertas cu¨¢nticas concretas llamadas H y G. En general, al aplicar la H a un c¨²bit, este aumenta en uno su nivel, pero, si cuando se aplica, las partes real e imaginaria de las dos coordenadas tienen las mismas paridades (es decir, que ambas son pares o ambas son impares), se reduce el nivel en uno. La puerta G intercambia las partes reales e imaginarias de ciertas coordenadas, pero deja invariante el nivel. Finalmente, la permutaci¨®n y la rotaci¨®n de filas o columnas son movimientos que resultan de combinaciones espec¨ªficas de puertas G y H.

Entonces, para bajar el nivel del hipercubo, hay que conseguir que las filas 1 y 2, por un lado, y 3 y 4, por otro, tengan la misma configuraci¨®n de paridades y aplicar H. Por lo tanto, la informaci¨®n realmente importante es la paridad de las coordenadas. Por esta raz¨®n, en el hipercubo estas paridades se representan mediante un c¨®digo de dos colores, tal como se observa en la Figura 1.b. El movimiento reducci¨®n tambi¨¦n puede realizarse, de manera an¨¢loga, por columnas.

Pero, ?ojo!, si no se tiene cuidado con los movimientos escogidos, se puede ampliar el nivel del hipercubo, en vez de reducirlo. Si el hipercubo no tiene la configuraci¨®n de paridades indicada, al aplicar H se aumentar¨¢ el nivel. Lo mismo ocurre con la rotaci¨®n de filas o columnas: si la configuraci¨®n no es adecuada, aumenta el nivel del hipercubo, mientras que, si esta es adecuada, mantiene el nivel. Sin embargo, si jugamos siguiendo una estrategia adecuada, siempre podremos resolver este juego, al igual que sucede con el cubo de Rubik.

A partir de este juego podemos deducir hechos interesantes sobre la computaci¨®n cu¨¢ntica. Que siempre se pueda resolver equivale a que cualquier puerta cu¨¢ntica discreta de dos c¨²bits se puede construir utilizando exclusivamente las dos puertas cu¨¢nticas elementales H y G. Se conjetura que el resultado es cierto para cualquier n¨²mero de c¨²bits, aunque esto todav¨ªa no se ha demostrado. Adem¨¢s, esta cuesti¨®n se relaciona con otros problemas, con implicaciones profundas en teor¨ªa de n¨²meros, que ya est¨¢n siendo objeto de estudio.

Jes¨²s Lacalle es director del departamento de Matem¨¢tica Aplicada a las TIC de la Escuela T¨¦cnica Superior de Ingenier¨ªa de Sistemas Inform¨¢ticos en la Universidad Polit¨¦cnica de Madrid.

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

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