El lento ¨¦xito de los n¨²meros imaginarios

Por su nombre, podr¨ªamos pensar que los n¨²meros imaginarios son una idea fantasiosa, que habita en un mundo m¨¢gico, paralelo a nuestra realidad. Sin embargo, no son ni m¨¢s ni menos tangibles que cualquier otro tipo de n¨²mero ¡ªeso s¨ª, su motivaci¨®n es un poco m¨¢s sofisticada que hacer recuentos o dividir el terreno¡ª. Su papel, fundamental en numerosas ¨¢reas de las matem¨¢ticas, pero tambi¨¦n en f¨ªsica e ingenier¨ªa, tard¨® siglos en ser comprendido por la comunidad matem¨¢tica.

Los n¨²meros imaginarios nacieron en el siglo XVI, en el contexto del estudio de ecuaciones polin¨®micas como x? + 1 = 0.

Esta ecuaci¨®n no tiene soluciones entre los n¨²meros reales: no existe ning¨²n n¨²mero real que, al multiplicarlo por s¨ª mismo, sea igual a -1. Frente a esta limitaci¨®n, los matem¨¢ticos inventaron un n¨²mero con esa propiedad, al que llamaron i. El primero en trabajar con ra¨ªces de n¨²meros negativos fue Girolamo Cardano (Italia, 1501 ¡ª 1576), pero fue Rafael Bombelli (Italia, 1526 ¡ª 1572) el que desarroll¨® el concepto. Sin embargo, la importancia e influencia de estos trabajos fue limitada y, durante mucho tiempo, los n¨²meros imaginarios fueron como ese conocido ligeramente molesto con quien hay que convivir, pero al que todo el mundo trata de no hacer demasiado caso.

A partir de los imaginarios se definen los n¨²meros complejos: son n¨²meros con la forma a + bi, donde a y b son n¨²meros reales e i es el n¨²mero imaginario. Los n¨²meros a y b se llaman, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del n¨²mero complejo a + bi. Por ejemplo, 2 + 3i o 1- i son n¨²meros complejos. Tambi¨¦n podemos ver los n¨²meros reales como n¨²meros complejos con la parte imaginaria igual a cero.

Uno de los aspectos clave de los n¨²meros complejos es que cualquier polinomio tiene un n¨²mero de ra¨ªces complejas ¨Ccontando repeticiones¨C igual al grado del polinomio, es decir, el mayor exponente al que est¨¢ elevada la variable. Este enunciado es conocido como el teorema fundamental del ¨¢lgebra, y fue demostrado por primera vez, de forma paralela, por el matem¨¢tico amateur Jean-Robert Argand (Francia, 1768 - 1822) y el gran matem¨¢tico Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777 - 1855), a principios del s. XIX.

A trav¨¦s de los siglos, los n¨²meros complejos pasaron de ser un artefacto te¨®rico ideado para enfrentarse a la resoluci¨®n de ecuaciones polin¨®micas a ser un elemento de importancia central en pr¨¢cticamente todas las ¨¢reas de las matem¨¢ticas. Por ejemplo, la conocida hip¨®tesis de Riemann ¡ªuno de los problemas del milenio del Instituto Clay, cuya soluci¨®n est¨¢ premiada con un mill¨®n de d¨®lares¡ª relaciona la distribuci¨®n de los n¨²meros primos con los puntos donde se anula una funci¨®n compleja ¡ªes decir, que toma valores complejos¡ª, llamada la funci¨®n zeta de Riemann, introducida por el matem¨¢tico Bernhard Riemann (Alemania, 1826 ¡ª 1866) en 1859.

M¨¢s all¨¢ de las matem¨¢ticas, los n¨²meros complejos tienen un papel fundamental en muchas ramas de la f¨ªsica y la ingenier¨ªa, especialmente en aquellas que estudian fen¨®menos de naturaleza oscilatoria (ondas), como la teor¨ªa cu¨¢ntica de campos, la mec¨¢nica de fluidos o el procesamiento de se?ales. Un caso importante surge en ingenier¨ªa el¨¦ctrica, m¨¢s concretamente en el estudio de la corriente alterna. Este tipo de corriente ¨Cla que usamos en casa¨C fue desarrollada en gran medida por Nikola Tesla (Serbia, 1856 ¨C 1943) y fue crucial para el desarrollo de la Segunda Revoluci¨®n Industrial, ya que permiti¨® el transporte de grandes cantidades de energ¨ªa de manera eficiente.

Pues bien, la naturaleza oscilatoria de la corriente alterna hace que ciertas magnitudes involucradas tengan un comportamiento que puede explicarse f¨¢cilmente usando los n¨²meros complejos. Por ejemplo, la oposici¨®n al paso de la corriente el¨¦ctrica, que recibe el nombre de impedancia, es un n¨²mero complejo, donde la parte real representa la resistencia y la parte imaginaria la reactancia. El c¨¢lculo de este tipo de instalaciones el¨¦ctricas, utilizando n¨²meros complejos, permite que puedan tener un mejor rendimiento. Otro ejemplo son las instalaciones trif¨¢sicas ¨Cutilizadas para el transporte de electricidad y aquellos montajes que requieran de una cierta potencia¨C, que basan su dise?o en una propiedad sencilla algebraica de las ra¨ªces complejas de la unidad.

Adem¨¢s de en este caso, en la descripci¨®n de muchos fen¨®menos oscilatorios aparecen c¨¢lculos complicados con senos y cosenos, que se convierten en sencillas manipulaciones algebraicas usando el lenguaje de n¨²meros imaginarios. Para ello, se emplea la f¨®rmula de Euler, que traduce escribe senos y cosenos en expresiones t¨¦rminos de la funci¨®n exponencial, mucho m¨¢s f¨¢cil de manejar.

La historia de los n¨²meros complejos ejemplifica una cualidad fundamental de las matem¨¢ticas: que un avance te¨®rico, en apariencia un tanto artificial, se puede convertir en el momento menos pensado, en un pilar del progreso tecnol¨®gico que trasciende a las matem¨¢ticas.

Javier Aramayona es cient¨ªfico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas, miembro del ICMAT y codirector de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica de ICMAT.

Jorge Escalante es ingeniero de edificaci¨®n, arquitecto t¨¦cnico y profesor de secundaria y bachillerato.

?gata Tim¨®n es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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