La magia matem¨¢tica que se esconde en la Sagrada Familia

Un cuadrado m¨¢gico es una cuadr¨ªcula de n¨²meros donde cada fila y cada columna suman el mismo valor. En la fachada de la Sagrada Familia hay un cuadrado m¨¢gico de cuatro filas y cuatro columnas, donde cada fila y cada columna suman 33. En el misterioso cuadro de Durero Melencolia I tambi¨¦n hay uno. Un sudoku es un cuadrado m¨¢gico donde cada fila y columna suman 1+2+...+9= 45.

Si dividimos cada n¨²mero del cuadrado de la Sagrada Familia por 33, obtenemos una cuadr¨ªcula donde cada fila y cada columna suman 1, de forma que cada fila y cada columna describen las probabilidades de una variable aleatoria. Una variable aleatoria puede tomar distintos valores, cada uno con una cierta probabilidad. Podemos imaginar una variable aleatoria como un dado trucado, donde los valores de la variable corresponden a las caras del dado y las probabilidades a la posibilidad de que salga cada cara.

En particular, para el cuadrado de la Sagrada Familia, imaginen un dado de cuatro caras con un palo de la baraja en cada cara ¡ªla pica, el coraz¨®n, el diamante y el tr¨¦bol¡ª. El dado est¨¢ trucado y, al tirarlo, la probabilidad de que salga cada palo es 1/33, 14/33, 14/33 y 4/33, respectivamente. Este primer dado, correspondiente a la primera fila del cuadrado de la Sagrada Familia, lo pintamos de color ocre. La segunda, tercera y cuarta fila describen otros dados de cuatro caras trucados, de color turquesa, violeta y dorado, respectivamente.

La magia est¨¢ en que las columnas describen otros dados de cuatro caras, que determinan el color del palo. La primera columna describe las probabilidades del color de la pica ¡ªocre, turquesa, violeta o dorado. La segunda, tercera y cuarta columna corresponden al color del coraz¨®n, diamante y tr¨¦bol, respectivamente. La idea clave es que cada n¨²mero de un cuadrado m¨¢gico juega dos papeles a la vez: describe la probabilidad de obtener el palo (en relaci¨®n a su fila) y la probabilidad de obtener el color (en relaci¨®n a su columna). Es decir, los mismos n¨²meros sirven para describir los dados de palos y los dados de colores, seg¨²n se vean en horizontal (como filas) o en vertical (como columnas).

Matem¨¢ticamente, los cuadrados m¨¢gicos son muy importantes, ya que describen procesos estoc¨¢sticos, y, por ello, se han estudiado mucho y se entienden muy bien. Recientemente, se han generalizado al caso cu¨¢ntico. Esto significa que cada fila y cada columna describen un ¡°dado cu¨¢ntico¡±; m¨¢s precisamente, una medida cu¨¢ntica. La clave es, de nuevo, que cada entrada juega dos papeles a la vez ¡ªuno respeto a sus colegas horizontales y otro respecto a los verticales¡ª. Hay dos conjuntos de medidas ¡ª las horizontales y las verticales ¡ª que se pueden describir mediante la misma cuadr¨ªcula.

?C¨®mo se describe una medida cu¨¢ntica? En un dado normal, la probabilidad de obtener un resultado se describe con un n¨²mero, como 1/33. En una medida cu¨¢ntica, en vez de tener un n¨²mero, tenemos una matriz. Es decir, una cuadr¨ªcula de n¨²meros. As¨ª que un cuadrado m¨¢gico cu¨¢ntico es una cuadr¨ªcula donde cada entrada es otra cuadr¨ªcula. El tama?o de las cuadr¨ªculas interiores corresponde a la dimensi¨®n del sistema cu¨¢ntico. Si el tama?o es uno, la cuadr¨ªcula interior es sencillamente un n¨²mero y recuperamos un cuadrado m¨¢gico ¡°normal¡±. Si el tama?o es dos, el sistema cu¨¢ntico es un c¨²bit (un bit cu¨¢ntico) y, si el tama?o es mayor, es un sistema cu¨¢ntico con m¨¢s niveles interiores.

Por eso, descubrir la f¨ªsica cu¨¢ntica es como descubrir un nuevo universo: pasar de tama?o uno a superiores es como un Big Bang, que crea un universo de posibilidades. Es un universo no conmutativo, ya que el producto de matrices no es conmutativo (si A y B son matrices, A veces B es distinto de B veces A), mientras que el producto de los n¨²meros s¨ª lo es (2 veces 3 es igual a 3 veces 2). Tambi¨¦n es un universo complejo, pues tiene una parte real y una imaginaria. La composici¨®n de estos universos es muy curiosa, puesto que da lugar al entrelazamiento. No les puedo dar una intuici¨®n de por qu¨¦ este universo es as¨ª porque yo misma solo entiendo la cu¨¢ntica matem¨¢ticamente.

El universo de la cu¨¢ntica est¨¢ lleno de sorpresas que son invisibles a tama?o uno. Una de ellas son los cuadrados m¨¢gicos cu¨¢nticos, que son mucho m¨¢s ricos que su sombra a tama?o uno. Por ejemplo, hay unos cuadrados m¨¢gicos llamados grecorromanos que no existen para dados de seis caras, pero s¨ª existe una versi¨®n cu¨¢ntica de ellos de tama?o cuatro, que involucra una forma muy fuerte de entrelazamiento y la proporci¨®n ¨¢urea. Por otro lado, los cuadrados m¨¢gicos cu¨¢nticos no se pueden expresar en t¨¦rminos de cuadrados m¨¢gicos cu¨¢nticos simples. El mundo de la cu¨¢ntica no solo es m¨¢s raro de lo que imaginamos, sino m¨¢s raro de lo que podemos imaginar, parafraseando la cita.

Me encantar¨ªa que estas ideas no fueran solo materia de la ciencia, sino tambi¨¦n del arte y de la filosof¨ªa. Desde luego, si Gaud¨ª hubiera inscrito un cuadrado m¨¢gico cu¨¢ntico en la Sagrada Familia, este tendr¨ªa a¨²n m¨¢s magia.

Gemma De las Cuevas es profesora de la Universidad de Innsbruck (Austria).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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