?Cu¨¢nto se puede anudar una cuerda sobre s¨ª misma?

En matem¨¢ticas muchas veces partimos de una pregunta sencilla, que nos lleva por caminos insospechados. Por ejemplo, ?cu¨¢ntas veces es posible anudar una cuerda sobre s¨ª misma? En el mundo real, diversos impedimentos f¨ªsicos determinan la respuesta: la longitud de la cuerda, su capacidad el¨¢stica y grosor¡­ Si despojamos a la pregunta de todas estas restricciones f¨ªsicas nos quedamos con una pregunta matem¨¢tica.

Un nudo matem¨¢tico es una curva el¨¢stica que se enreda en el espacio y que se puede deformar, manipulando sus partes sin romperlas. Los nudos matem¨¢ticos tienen pegados sus extremos, como la l¨ªnea que dibuja un c¨ªrculo. Ese es el nudo m¨¢s sencillo, el nudo trivial; pero no es el ¨²nico.

La diversidad de estos objetos matem¨¢ticos es infinita y una de las labores de la teor¨ªa de los nudos -que es un ¨¢rea de la topolog¨ªa-, es describirla. Para ello, hay que determinar cu¨¢ndo dos nudos son el mismo: lo ser¨¢n cuando es posible deformar uno en el otro, sin romperlo. Con suerte, este proceso termina en alg¨²n momento, cuando son iguales, pero, por el contrario, si no lo son, podemos invertir much¨ªsimo tiempo sin llegar a ninguna conclusi¨®n.

Para ahorrarnos este camino, la teor¨ªa de los nudos se encarga de identificar propiedades matem¨¢ticas que se pueden comprobar m¨¢s f¨¢cilmente. De estas, la m¨¢s sencilla es contar cuantas veces se cruza la curva al dibujarla en una hoja de papel, indicando qu¨¦ parte cruza por arriba y qu¨¦ parte por debajo, en cada cruce.

Sin embargo, un mismo nudo puede tener much¨ªsimos diagramas diferentes; no solo de acuerdo al punto de vista desde el que se dibuje, sino que, adem¨¢s, podr¨ªa haber algunos cruces que desaparecer¨ªan simplemente torciendo, un poco, alguna parte del nudo.

La cantidad m¨ªnima de cruces que se pueden conseguir en un diagrama del nudo permite decir si dos nudos son diferentes; por ejemplo, si uno tiene tres y el otro cuatro. Y tambi¨¦n permite organizar los nudos en un gran cat¨¢logo, empezando por el m¨¢s simple: el c¨ªrculo, o nudo trivial, que se puede dibujar sin ning¨²n cruce.

Todos los nudos que se pueden dibujar con uno o dos cruces se pueden manipular de tal manera que queden id¨¦nticos a una circunferencia. Solo hay un nudo con tres cruces y se le conoce como el ¡°nudo tr¨¦bol¡±. El ¡°nudo ocho¡± es el ¨²nico que se puede dibujar con cuatro cruces, pero a partir de ah¨ª, la diversidad crece r¨¢pidamente. El cat¨¢logo de nudos con hasta diez cruces tiene 250 nudos diferentes, y con hasta 19 la cantidad asciende a m¨¢s de 300 millones.

Un nudo salvaje tiene una cantidad infinita de cruces y da respuesta a la pregunta con la que empez¨¢bamos este texto. Para imaginarlo, podemos valernos de una receta que, aunque infinita, es relativamente simple. Un ingrediente importante de la receta son los espejos esf¨¦ricos, que muestran, en su superficie, la imagen reflejada de todo el espacio, como si estuviera en el interior de la esfera. Este espejo deforma la mayor¨ªa de las figuras: las l¨ªneas rectas se observan curvas y es inevitable pensar en un pez al mirar nuestro rostro reflejado. La ¨²nica figura que no cambia al reflejarse, salvo por su tama?o, es la figura de cualquier otra esfera.

La clave de la receta est¨¢ en esta propiedad, pues, esa otra esfera tambi¨¦n podr¨ªa estar hecha de espejo y, en ese caso, si nos fijamos con cuidado, podr¨ªamos observar, en el reflejo de esa esfera, la imagen reflejada de la esfera inicial¡­ un trabalenguas. Para construir un nudo salvaje se parte de un nudo de los del cat¨¢logo, cualquiera sirve salvo el nudo trivial, y se necesitan tambi¨¦n algunos cuantos espejos esf¨¦ricos, que pueden ser de diferentes tama?os. Entonces, se engarzan las esferas, una a una, en una cuerda imaginaria, procurando que est¨¦n suficientemente apretadas para que las esferas consecutivas se toquen en un punto, para formar un collar.

A continuaci¨®n, se anuda el collar de acuerdo al diagrama del nudo elegido y se cierra por sus extremos, procurando que las esferas de las puntas tambi¨¦n se toquen. En cada una de las esferas del collar se refleja una copia del resto del collar y estos pedazos de collar se conectan, en esferas consecutivas, formando un nuevo collar, hecho de esferas m¨¢s peque?as. Este nuevo collar es m¨¢s intrincado que el anterior, pues en cada pedazo se puede ver la forma del nudo repetido en cada esfera. Adem¨¢s, como tambi¨¦n est¨¢ hecho de esferas reflejantes podemos repetir el paso anterior en este nuevo collar y as¨ª otra vez, y otra vez¡­ hasta el infinito.

El nudo salvaje tiene infinitos detalles cada vez m¨¢s peque?os. Y, gracias a las matem¨¢ticas, sabemos que dentro de todos estos collares solo cabe una delgada curva sin extremos, infinitamente anudada: un nudo salvaje. Efectivamente, en cada paso, las esferas reducen su tama?o; y en cada paso agregamos m¨¢s y m¨¢s cruces.

Si bien hay f¨®rmulas expl¨ªcitas y precisas que describen exactamente la posici¨®n de las esferas reflejadas en el interior, a diferencia de los espejos, que nos muestran una imagen plana en la superficie, esta idea nos permite imaginarnos (y estudiar, desde el punto de vista de las matem¨¢ticas) los nudos salvajes.

Aubin Arroyo es investigador en el Instituto de Matem¨¢ticas de la Universidad Nacional Aut¨®noma de M¨¦xico (UNAM)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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