Una estudiante de doctorado resuelve un problema abierto desde hace d¨¦cadas

Las matem¨¢ticas cuentan con m¨²ltiples problemas que llevan a?os abiertos. Algunos se resisten y cada peque?o avance es celebrado en la comunidad como un paso que acerca a su resoluci¨®n, habitualmente compleja. Otros est¨¢n ah¨ª, esperando que llegue la persona que los mire desde una nueva perspectiva que haga que, de pronto, todos los velos caigan y uno quede sorprendido ante la simplicidad de la soluci¨®n.

Este es el caso de Lisa Piccirillo, que resolvi¨® un importante problema en teor¨ªa de nudos, abierto hace m¨¢s de 50 a?os, siendo estudiante de doctorado en la Universidad de Texas en Austin. Su resultado, que recientemente ha sido publicado en la prestigiosa revista Annals of Mathematics, ha despertado un gran inter¨¦s en la comunidad matem¨¢tica.

El entusiasmo de esta acogida ha sorprendido a la propia joven, que reconoce no haber sido consciente en un primer momento del impacto que tendr¨ªa su trabajo.

Piccirillo ha determinado que el llamado nudo de Conway, introducido por John Horton Conway (recientemente fallecido a causa de la Covid19), no tiene la propiedad de ser slice.

La pregunta fundamental que se intenta responder es si, dados dos nudos, es posible obtener uno de ellos a partir de deformaciones del otro. En caso de que sea posible, los nudos son equivalentes

Pero empecemos por el principio: en matem¨¢ticas, un nudo ser¨ªa una cuerda atada en la se han pegado los extremos entre s¨ª. La teor¨ªa de nudos estudia las transformaciones que pueden hacerse a esa cuerda estir¨¢ndola, retorci¨¦ndola, dobl¨¢ndola¡­ sin llegar a cortarla. La pregunta fundamental que se intenta responder es si, dados dos nudos, es posible obtener uno de ellos a partir de deformaciones del otro. En caso de que sea posible, los nudos son equivalentes.

Para resolver estas cuestiones se emplean los invariantes de nudos, que son funciones que asignan un valor a cada nudo. Si un determinado invariante asigna valores diferentes a dos nudos, entonces no es posible deformar un nudo en el otro, es decir, no son nudos equivalentes.

Los invariantes permiten estudiar las propiedades de los nudos. El problema resuelto por Piccirillo se centra en la propiedad de un nudo de ser slice. Para definir este concepto tenemos que imaginar el nudo en un espacio de cuatro dimensiones. As¨ª, un nudo es slice si es el borde de un disco en este espacio. No es sencillo formarse una idea intuitiva y precisamente por esto no es f¨¢cil determinar, en general, si un nudo es slice o no.

Afortunadamente, los invariantes pueden ser ¨²tiles en esta tarea, ya que proporcionan obstrucciones para que un nudo sea slice. As¨ª, hasta el momento hab¨ªa sido posible determinar si 2977 de los 2978 nudos con menos de 13 cruces tienen la propiedad de ser slice o no. Todos menos un nudo: el nudo de Conway, de 11 cruces.

Piccirillo supo de la existencia de este problema durante un congreso en el verano de 2018. En sus propias palabras, lo tom¨® como un pasatiempo

Piccirillo supo de la existencia de este problema durante un congreso en el verano de 2018. En sus propias palabras, lo tom¨® como un pasatiempo en el que aplicar algunas de las t¨¦cnicas que hab¨ªa desarrollado como estudiante de doctorado. En poco menos de una semana consigui¨® dar respuesta a la pregunta: el nudo de Conway no es slice.

La prueba de su resultado es sorprendente por la combinaci¨®n de originalidad y simplicidad (?ojo con no confundir simplicidad con sencillez!). Su ¨¦xito radica en el uso de un invariante moderno para atacar un problema cl¨¢sico: el ¡°invariante s¡±, definido en 2010 por Jacob Rasmussen a partir de otro invariante conocido como homolog¨ªa de Khovanov, y en la idea de traza, un espacio de dimensi¨®n cuatro que puede asociarse a cada nudo. Si dos nudos tienen trazas equivalentes entonces o bien ambos tienen la propiedad de ser slice, o bien ninguno de los dos la tiene. La idea de Piccirillo consiste en construir un nudo cuya traza es equivalente a la traza del nudo de Conway, y usar el invariante s para comprobar que el primero no es slice.

M¨¢s all¨¢ de completar la clasificaci¨®n de nudos slice de menos de 13 cruces, la importancia de este resultado se esconde en algo m¨¢s sutil: en el estudio de la clasificaci¨®n de nudos, es fundamental determinar qu¨¦ propiedades se preservan por mutaci¨®n. El nudo de Conway es mutante de otro nudo con nombre propio: el nudo de Kinoshita-Terasaka (ver Figura al margen), que s¨ª es slice. As¨ª, el trabajo de Piccirillo proporciona el primer ejemplo de un nudo no slice (que s¨ª es topol¨®gicamente slice) cuyo mutante s¨ª lo es.

Marithania Silvero es profesora ayudante, doctora de la Universidad de Huelva y miembro del Instituto de Matem¨¢ticas de la Universidad de Sevilla (IMUS).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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