James Maynard, tras la esquiva distribuci¨®n de los n¨²meros primos

Con motivo del Congreso Internacional de Matem¨¢ticas (ICM) celebrado en Madrid en 2006, el matem¨¢tico Andrew Granville escribi¨® un art¨ªculo breve, muy recomendable, titulado Un buen milenio para los primos, en el que repasaba, con tono optimista, algunos de los m¨¢s recientes avances y principales retos sobre la distribuci¨®n de los n¨²meros primos, tras muchos a...

Con motivo del Congreso Internacional de Matem¨¢ticas (ICM) celebrado en Madrid en 2006, el matem¨¢tico Andrew Granville escribi¨® un art¨ªculo breve, muy recomendable, titulado Un buen milenio para los primos, en el que repasaba, con tono optimista, algunos de los m¨¢s recientes avances y principales retos sobre la distribuci¨®n de los n¨²meros primos, tras muchos a?os de estancamiento. Lo que no sospechaba Granville es que siete a?os despu¨¦s le visitar¨ªa en la Universidad de Montreal un joven doctor con un ambicioso programa que cambiar¨ªa el panorama descrito en su texto. Nueve a?os m¨¢s tarde, en otro ICM ¨Cen una de las pocas ceremonias presenciales celebradas, tras la cancelaci¨®n del evento en San Petersburgo¨C, aquel joven, James Maynard (1987, Chelmsford, Reino Unido), ha recibido la medalla Fields, el galard¨®n matem¨¢tico m¨¢s prestigioso, en reconocimiento a sus trabajos.

Cualquiera que haya mirado una tabla de primos, sabe que estos n¨²meros son muy ca¨®ticos. Es decir, dado un n¨²mero primo cualquiera es muy dif¨ªcil predecir cu¨¢ndo surgir¨¢ el siguiente: a veces aparece solo dos n¨²meros despu¨¦s (por ejemplo, 1319 y 1321 son primos), pero otras veces hay grandes tramos de muchos n¨²meros compuestos consecutivos (por ejemplo, tras el primo 1327 no volvemos a encontrar otro hasta 1361). Desde finales del siglo XIX se conocen f¨®rmulas que aproximan la cantidad de primos existentes en intervalos muy grandes de n¨²meros y permiten calcular su separaci¨®n media. La cuesti¨®n es: ?podemos asegurar que hay primos consecutivos cuya separaci¨®n es mucho mayor o mucho menor que esa media?

Como la sucesi¨®n de primos parece ca¨®tica, lo natural ser¨ªa pensar que, efectivamente, as¨ª es. Sin embargo, es un problema extremadamente dif¨ªcil si queremos tener seguridad matem¨¢tica, m¨¢s all¨¢ de las evidencias experimentales. Los avances son muy recientes y Maynard ha tenido una participaci¨®n capital en ellos. Su contribuci¨®n m¨¢s espectacular est¨¢ en el lado de las separaciones muy peque?as. Dado un n¨²mero arbitrario, por ejemplo 2022, su trabajo permite hallar una constante de manera que existen infinitos conglomerados de 2022 primos que distan entre s¨ª menos que dicha constante. Un esfuerzo matem¨¢tico conjunto relacionado con el trabajo de Maynard ha probado que podemos encontrar parejas de n¨²meros primos tan grandes como deseemos separados a lo m¨¢s 246, lo cual supone un avance hacia la famosa conjetura de los primos gemelos, que postula que hay infinitos pares de primos a distancia dos.

Maynard tambi¨¦n consigui¨® demostrar que los saltos entre primos consecutivos pod¨ªan estar muy por encima de la media, es decir, que exist¨ªan separaciones muy grandes y, despu¨¦s, en colaboraci¨®n con otros matem¨¢ticos, mejor¨® su propio resultado. Durante d¨¦cadas, esta cuesti¨®n se consider¨® atascada y Paul Erd?s (un famoso matem¨¢tico bohemio e itinerante que a veces ofrec¨ªa cantidades de su bolsillo por la soluci¨®n de algunos problemas) asign¨® 10.000 d¨®lares, su gratificaci¨®n m¨¢s alta, a su resoluci¨®n.

Por otro lado, Maynard tambi¨¦n ha resuelto un problema sobre capturar primos en una sucesi¨®n, los cuales tienen gran tradici¨®n en teor¨ªa de n¨²meros. Por ejemplo, si se considera la sucesi¨®n de todos los n¨²meros que tienen la forma de un cuadrado perfecto (es decir, que pueden escribirse como un n¨²mero natural elevado a dos, como 4, 16, 25 o 344569) m¨¢s uno (5, 17, 26 o 344570), ?contiene infinitos n¨²meros primos? Esta pregunta, de momento, no tiene respuesta.

El matem¨¢tico ingl¨¦s ha mostrado que la sucesi¨®n de n¨²meros que se obtiene omitiendo un d¨ªgito captura todav¨ªa una parte sustancial de los n¨²meros primos. De su trabajo se deduce que hay infinitos primos como 269, 277, 283, 293, 307, 337 o 4567 que no contienen ning¨²n 1 entre sus cifras y lo mismo se cumplir¨ªa para cualquier otro d¨ªgito que seleccionemos). Su demostraci¨®n requiere romper una barrera conceptual, pues se aplica un m¨¦todo que aparentemente no puede funcionar, y lo combina con otras t¨¦cnicas, empleando un preciosismo t¨¦cnico extremo que desarrolla en casi 100 p¨¢ginas.

La soluci¨®n de estos y otros problemas sobre distribuci¨®n de los n¨²meros primos que, durante d¨¦cadas, se consideraban pr¨¢cticamente irresolubles, han incrementado en la comunidad matem¨¢tica el optimismo y el asombro del que Granville hac¨ªa gala en su art¨ªculo de 2006. No obstante, la principal cuesti¨®n abierta en el ¨¢rea, la hip¨®tesis de Riemann, sigue desafiando todos los esfuerzos: todav¨ªa se sabe muy poco al respecto. Quiz¨¢ esta nueva oleada de optimismo cautive a alg¨²n joven investigador y en un futuro pr¨®ximo obtenga una Medalla Fields por desvelar lo que algunos consideran el mayor secreto de las matem¨¢ticas.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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