?Cu¨¢l es la probabilidad de que se propague un incendio forestal?

Solo durante el pasado fin de semana, los incendios que est¨¢n asediando Espa?a calcinaron 16 000 hect¨¢reas. Seg¨²n un art¨ªculo de este peri¨®dico, en 2022 se han quemado 140 000 hect¨¢reas, casi siete veces m¨¢s que la media anual para este periodo. El avance del fuego en el bosque es dif¨ªcil de predecir, pero los modelos matem¨¢ticos permiten entender algunos aspectos esenciales. En concreto, la llamada teor¨ªa de la percolaci¨®n emplea modelos de formaci¨®n de c¨²mulos conectados en redes aleatorias para describir el avance de fuegos forestales. En los ¨²ltimos a?os, el matem¨¢tico franc¨¦s Hugo Duminil-Copin ha realizado aportaciones important¨ªsimas a esta ¨¢rea, lo que le ha valido una de las Medallas Fields de 2022. Su trabajo, a caballo entre la f¨ªsica y las matem¨¢ticas, ha revolucionado el campo, resolviendo muchos de los problemas existentes y extendiendo la teor¨ªa hasta l¨ªmites inaccesibles previamente.

Al modelar la propagaci¨®n de un incendio, es clave calcular la probabilidad de que el fuego permanezca aislado o de que, por el contrario, se extienda en amplias zonas. En dos dimensiones, con un an¨¢lisis muy sencillo, el bosque se modela como una cuadr¨ªcula, compuesta por puntos, que son los ¨¢rboles, y bordes, que conectan los puntos. Cada borde ¨Ccada uni¨®n de dos ¨¢rboles¨C incluye adem¨¢s un valor, de la probabilidad de que se pase el fuego entre esos dos ¨¢rboles. Si un borde propaga el fuego, recibe el nombre de borde abierto. Este modelo simplificado no tiene en cuenta el tiempo y asume que todos los ¨¢rboles son id¨¦nticos e independientes.

A partir de este modelo, es posible obtener la probabilidad de que el fuego llegue al centro del bosque, lo que matem¨¢ticamente es equivalente a calcular la probabilidad de que se forme un camino (es decir, una sucesi¨®n de bordes abiertos) que comunique el centro de la cuadr¨ªcula con el exterior, donde se supone que se ha iniciado el fuego. Podemos pensar que el bosque es infinitamente grande y as¨ª simplificar la cuesti¨®n a calcular la probabilidad de que exista un camino infinito de bordes abiertos que pase por el centro del bosque.

Hasta la llegada de Duminil-Copin, este campo de investigaci¨®n se limitaba principalmente a precisar los detalles del modelo simplificado que hemos descrito, llamado percolaci¨®n de Bernoulli. Esta construcci¨®n matem¨¢tica, introducida en 1957, permite calcular un valor concreto de la probabilidad de propagaci¨®n del fuego entre ¨¢rboles ¨Cllamado probabilidad cr¨ªtica¨C a partir del cual aumenta mucho el riesgo de que el fuego llegue al centro del bosque. Efectivamente, si la probabilidad de contagio de fuego es muy baja (cercana a cero), casi seguro que todos los caminos ser¨¢n peque?os (finitos) y, por tanto, el fuego no llegar¨¢ al centro del bosque. En cambio, si esta es suficientemente alta (cercana a uno), casi seguro habr¨¢ caminos infinitos. El valor de la probabilidad en la que se produce esta transici¨®n de fase, entre la existencia o inexistencia de caminos infinitos, es la probabilidad cr¨ªtica.

El modelo de percolaci¨®n de Bernoulli tiene una clara limitaci¨®n: que un borde sea abierto o cerrado es independiente del estado del resto de bordes, lo que es muy poco realista: en un incendio, que el fuego se propague o no entre dos ¨¢rboles no depende solo de estos ejemplares. Duminil-Copin quiso sofisticar la teor¨ªa, con el fin de entender el caso de que esta probabilidad se vea afectada por otros bordes relativamente lejanos. As¨ª, el refinamiento del modelo de Duminil-Copin permite considerar que la probabilidad de que un ¨¢rbol acabe propagando el fuego depende del estado de los ¨¢rboles cercanos.

La teor¨ªa de la percolaci¨®n se emplea tambi¨¦n para modelar la filtraci¨®n de agua en un suelo rocoso, la dispersi¨®n de ciertas enfermedades, la propagaci¨®n de un rumor, el estudio del ferromagnetismo y un largo etc¨¦tera. Duminil-Copin se especializ¨® en este problema de la f¨ªsica matem¨¢tica en el doctorado, que realiz¨® en la Universidad de Ginebra bajo la direcci¨®n de Stanislav Smirnov, tambi¨¦n medallista Fields.

En aquel periodo, estuvo atascado durante meses con un problema. Mientras pensaba en ello, nadando en el mar ¨Cel deporte es otra de sus grandes aficiones¨C, lleg¨® a una idea que, aunque no funcionaba para resolver su problema inicial, s¨ª permit¨ªa responder a una importante conjetura en combinatoria. El resultado fue publicado en 2012 en Annals of Mathematics, una de las m¨¢s importantes revistas en matem¨¢ticas, y es una de las contribuciones de Duminil-Copin m¨¢s citadas por la comunidad matem¨¢tica.

Seg¨²n reconoce el propio matem¨¢tico, no podr¨ªa haber realizado estos avances, que ahora son reconocidos con la Medalla Fields, sin sus colaboradores, con quienes le gustar¨ªa haber podido compartir el premio. La generosidad y visi¨®n de equipo de Duminil-Copin se extiende al resto de la comunidad cient¨ªfica. Por ejemplo, considera que escribir un art¨ªculo de la manera m¨¢s clara y elegante posible es una se?al de respeto hacia el resto de investigadores que van a pasar tiempo estudiando y usando ese trabajo.

?lvaro Romaniega es investigador predoctoral en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT) y becario en Ciencias Naturales y Tecnolog¨ªa en la Residencia de Estudiantes

?gata Tim¨®n G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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