Un matem¨¢tico ligado a una enigm¨¢tica hip¨®tesis

Cualquiera con un m¨ªnimo inter¨¦s en las matem¨¢ticas habr¨¢ o¨ªdo hablar de la hip¨®tesis de Riemann, uno de los mayores problemas sin resolver de las disciplina. Sin embargo, ?cu¨¢ntos conocen al matem¨¢tico que hay detr¨¢s de esta afirmaci¨®n? Con los ¨ªndices bibliom¨¦tricos que tanto se esgrimen en la actualidad para evaluar a los cient¨ªficos, sin duda se criticar¨ªa a Bernhard Riemann (1826-1866) su escasa producci¨®n (incluso teniendo en cuenta que muri¨® joven) pero se alabar¨ªa su enorme impacto. Est¨¢n las m¨¦tricas de Riemann, el tensor de Riemann, el teorema de la aplicaci¨®n de Riemann y otros muchos conceptos que honran su nombre.

Entre sus trabajos quiz¨¢ el que ha dado m¨¢s que hablar es una brev¨ªsima memoria publicada en 1859, en la que se incluye su famosa hip¨®tesis. All¨ª introduce una funci¨®n, llamada ¦Æ, definida sobre los n¨²meros complejos. Lo sorprendente es que esta funci¨®n contiene informaci¨®n acerca de la distribuci¨®n de los n¨²meros primos. Riemann consigue con t¨¦cnicas anal¨ªticas (derivadas e integrales) expresar la cantidad de n¨²meros primos menores que un valor arbitrario, en t¨¦rminos de los valores en que se anula ¦Æ (es decir, donde vale 0).

Se sabe que ¦Æ se anula en los pares negativos (-2, -4, -6,...), que resultan contribuir poco a la cuenta de los primos, sin embargo, el resto de los valores en los que ¦Æ se anula, llamados ceros no triviales, son mucho m¨¢s misteriosos y dan lugar a t¨¦rminos oscilatorios, a ondas. De esta forma el recuento de los primos se escribe como una superposici¨®n de ondas asociadas a los ceros no triviales. Resulta que la amplitud de dichas ondas est¨¢ ligada a la distancia a cierta l¨ªnea recta. Si todos los ceros no triviales estuvieran en dicha l¨ªnea se conseguir¨ªan estimaciones muy precisas acerca de la distribuci¨®n de los primos. Pero, ?es cierto que esta es la disposici¨®n??

La hip¨®tesis de Riemann asegura que s¨ª: los ceros no triviales est¨¢n en fila india, pero el espaciamiento es variable, ocurre como en la cola de un gran acontecimiento: el hueco entre dos personas consecutivas var¨ªa dependiendo de si son amigas o no pero siempre, seg¨²n avanza la fila hacia su destino los espacios se reducen. De la misma forma, cuando se recorren los ceros no triviales de la funci¨®n ¦Æ se api?an m¨¢s, aunque el espaciamiento preciso, la amistad entre ceros, parece estar regulado por las leyes del caos de una forma que ha interesado a los f¨ªsicos te¨®ricos y por supuesto a los matem¨¢ticos.

Por si no fuera suficientemente raro que los ceros de la funci¨®n introducida por Riemann est¨¦n alineados sin raz¨®n aparente, el fen¨®meno tiene una incre¨ªble ubicuidad. As¨ª hay una pl¨¦tora de funciones, llamadas gen¨¦ricamente funciones L, que aparecen en temas muy dispares (por ejemplo en la aclamada prueba del ¨²ltimo teorema de Fermat) y que tambi¨¦n parecen satisfacer la hip¨®tesis de Riemann.

Todos los apasionados por los n¨²meros esperamos llegar a ver en un futuro cumplea?os de Riemann el gran regalo que ser¨ªa la prueba de su hip¨®tesis. Si el paso a la posteridad no fuera sobrado aliciente, la fundaci¨®n Clay Mathematics Institute ofrece un mill¨®n de d¨®lares por ello

Atle Selberg, uno de los grandes especialistas en la funci¨®n ¦Æ del siglo XX, hizo una conjetura arriesgada al respecto. En t¨¦rminos vagos (la persona interesada en algo m¨¢s preciso puede buscar informaci¨®n sobre la "clase de Selberg"), conjetur¨® que la hip¨®tesis de Riemann se cumple para cualquier funci¨®n L siempre que est¨¦ definida para los n¨²meros complejos, tenga coeficientes que crezcan poco, satisfaga cierta simetr¨ªa y guarde relaci¨®n con la factorizaci¨®n.

Dicho sea de paso, a Selberg se debe uno de los mayores avances relacionados con la hip¨®tesis de Riemann, demostr¨® que una parte de los ceros est¨¢n en la l¨ªnea esperada. Actualmente se sabe que m¨¢s de un 40% de ellos lo est¨¢n. Otro resultado mucho m¨¢s sencillo y cl¨¢sico, pero tambi¨¦n notable, es que incluso si la hip¨®tesis de Riemann fuera falsa, la gran mayor¨ªa de los ceros no triviales deben concentrarse muy cerca de la l¨ªnea.

La hip¨®tesis de Riemann admite innumerables consecuencias y equivalencias, algunas de corte muy elemental por ejemplo relativas a sumas de divisores (teorema de Robin), a fracciones irreducibles (teorema de Franel) o a c¨¢lculo de determinantes (matriz de Redheffer).

Todos los apasionados por los n¨²meros esperamos llegar a ver en un futuro cumplea?os de Riemann (17 de septiembre) el gran regalo que ser¨ªa la prueba de su hip¨®tesis. Si el paso a la posteridad no fuera sobrado aliciente, la fundaci¨®n Clay Mathematics Institute ofrece un mill¨®n de d¨®lares por ello.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT.

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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