C¨®mo repartir el rosc¨®n de Reyes de forma justa

Ahora que se acerca el d¨ªa de Reyes, un dilema se presenta en la sobremesa: ?c¨®mo cortar el rosc¨®n para que nadie proteste sobre el trozo que le ha tocado? De resolver este problema se encarga la teor¨ªa matem¨¢tica de la divisi¨®n justa, una rama de la teor¨ªa de juegos que naci¨® en los a?os 40 del siglo pasado, con los trabajos de los matem¨¢ticos polacos Hugo Dyonizi Steinhaus, Stefan Banach y Bronis?aw Knaster. Adem¨¢s de para cortar roscones ¡ªo cualquier otro tipo de tarta¡ª, la teor¨ªa de la divisi¨®n justa tiene incontables aplicaciones: a la asignaci¨®n de tareas, a las subastas, a la gesti¨®n del tr¨¢fico a¨¦reo, al reparto de herencias o acuerdos de divorcio¡­

Primero de todo, cada persona tiene que dar valor a las partes de los bienes a repartir. Si el bien es homog¨¦neo ¡ªcomo el dinero, terrenos o un rosc¨®n en el que la parte de arriba solo tiene almendra¡ª, el valor de cada trozo estar¨¢ determinado por su tama?o o cantidad, pero si es heterog¨¦neo ¡ªun rosc¨®n con zonas con fruta confitada y zonas con almendra¡ª, cada persona podr¨¢ darles un valor diferente a las partes: todos sabemos que la fruta confitada tiene partidarios y detractores. Curiosamente, hay ciertas situaciones en las que el desacuerdo sobre qu¨¦ zonas son m¨¢s sabrosas produce mejores resultados en el reparto que si todos opinaran igual.

Luego, se tiene que precisar qu¨¦ significa un reparto justo. As¨ª, aparecen distintas posibilidades: si hay n personas, una divisi¨®n es proporcional si cada una de ellas considera que el valor de su trozo es mayor o igual que 1/n; buscando que nadie se sienta molesto, encontramos la divisi¨®n libre de envidia, en la que cada persona recibe un trozo que, seg¨²n su propia medida, vale al menos tanto como cualquiera de los otros trozos cortados.

Los repartos se describen con una serie de instrucciones que hay que seguir paso a paso, es decir, a trav¨¦s de un algoritmo. El caso m¨¢s sencillo de reparto, conocido desde tiempos b¨ªblicos, ocurre cuando la divisi¨®n es solo entre dos personas. En esta situaci¨®n, el algoritmo ¡°yo corto, t¨² eliges¡± lleva a una divisi¨®n proporcional y libre de envidia, como la de Abraham y Lot.

Para tres personas (Antonio, Beatriz y Carolina), las cosas se complican. En los a?os 60 del siglo pasado John Selfridge y John Horton Conway dieron, de forma independiente, el mismo procedimiento libre de envidia. Funciona como sigue: en primer lugar, Antonio corta el rosc¨®n en tres partes, que ¨¦l considera iguales. A continuaci¨®n, Beatriz tiene dos opciones: si cree que hay una parte m¨¢s grande que las otras dos, la recorta para crear un empate; por el contrario, si piensa que hay dos o m¨¢s partes que empatan como la m¨¢s grande, no hace nada. Entonces, Carolina elige el trozo que cree m¨¢s grande. Luego, elige Beatriz, teniendo en cuenta que, si recort¨® una de las partes en el paso anterior, deber¨¢ escogerla ¡ªa no ser que Carolina ya la haya elegido¡ª. Finalmente, elige Antonio.

Por ahora, todos est¨¢n contentos: Antonio se queda con uno de los trozos originales, que ¨¦l consideraba iguales, Beatriz con uno de los dos que consideraba m¨¢s grandes y Carolina fue la primera en elegir, as¨ª que no puede sentir envidia de nadie.

Solo queda dividir el recorte ¡ªsi lo hay¡ª. En tal caso, Carolina lo divide en tres partes que considera iguales y que escogen, por orden, Beatriz, Antonio y Carolina, tomando cada uno el que cree mayor. De nuevo, el reparto es justo: Beatriz es la primera en escoger; Antonio no envidia a Beatriz porque ¨¦l pensaba que los tres trozos originales eran iguales y Beatriz se qued¨® con la parte recortada, ni a Carolina porque ha elegido antes que ella; Carolina no tiene envidia de nadie porque dividi¨® los restos en partes que considera iguales.

Y, ?qu¨¦ pasa si queremos repartir entre m¨¢s de tres personas? En 1995, los investigadores Steven Brams y Alan Taylor descubrieron un m¨¦todo que val¨ªa para cualquier n¨²mero de personas. Sin embargo, su propuesta ten¨ªa un importante problema: no se puede especificar de antemano c¨®mo de grande es el n¨²mero de pasos del algoritmo; e incluso el n¨²mero de cortes: se sabe que es un valor finito ¡ªel algoritmo acabar¨¢ dando el resultado¡ª, pero no se sabe cu¨¢l es su valor m¨¢ximo, depende de la tarta y las preferencias de las personas. De hecho, para cualquier n¨²mero, tan grande como se quiera, siempre es posible encontrar unas valoraciones de los participantes en el reparto que, para cumplirlas, el algoritmo de Brams y Taylor tenga una cantidad de pasos superior a ese n¨²mero grande escogido.

En 2016, Haris Aziz y Simon Mackenzie encontraron un procedimiento libre de envidia para cualquier grupo de personas que est¨¢ acotado y depende solo del n¨²mero de participantes, aunque deberemos tener algo de paciencia porque el n¨²mero de pasos en el algoritmo y el n¨²mero de cortes puede ser impresionantemente alto. Solo con cuatro personas la cota ya es superior al n¨²mero de ¨¢tomos del universo. Este es el n¨²mero m¨¢ximo de pasos que, a priori, podemos asegurar que tendr¨¢ el algoritmo, sean cuales sean las preferencias de las personas, pero no siempre ser¨¢ necesario alcanzarla; si todos cedemos un poco, nos podremos poner de acuerdo antes de que el universo se termine. En cualquier caso, todav¨ªa hay mucho margen para mejorar este resultado.

Aunque estos algoritmos puedan resultar exagerados para repartir el rosc¨®n, hay situaciones en las que el reparto tiene mayores implicaciones y dividir, incluso el recorte de los trozos, de forma justa, es primordial. Por ejemplo, cuando los aliados partieron Alemania en cuatro zonas despu¨¦s de la II Guerra Mundial, podr¨ªamos considerar que el recorte fue Berl¨ªn, que tambi¨¦n fue dividida en zonas.

David Iglesias y Carlos Gonz¨¢lez son profesores titulares de la Universidad de La Laguna.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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