C¨®mo hacer las mejores palomitas de ma¨ªz

Lo que no se mide no puede mejorarse. Esta frase, utilizada por muchos ingenieros en los departamentos de calidad de empresas en todo el mundo, fue acu?ada por el f¨ªsico y matem¨¢tico brit¨¢nico William Thomson Kelvin (1824 ¨C 1907). Midiendo, se consiguen evidencias para definir la configuraci¨®n ¨®ptima de cualquier proceso, identificando qu¨¦ factores influyen en la variaci¨®n de los datos obtenidos en el experimento y aislando los posibles errores de muestreo, que se producen por todos aquellos factores que no fueron controlados durante el proceso de experimentaci¨®n.

De esto trata el dise?o de experimentos, que combina t¨¦cnicas y m¨¦todos matem¨¢ticos de estad¨ªstica, probabilidad, optimizaci¨®n, y que se aplica a, por ejemplo, medir la expresi¨®n de un gen tras haber inoculado diferentes concentraciones de un determinado virus en ratones de laboratorio, pero tambi¨¦n a algo tan sencillo como hacer palomitas.

Por medio de esta t¨¦cnica, se modifican deliberadamente una serie de variables controlables por el experimentador para obtener un resultado ¨®ptimo en la variable de inter¨¦s, minimizando el esfuerzo en la elaboraci¨®n del experimento y maximizando la informaci¨®n obtenida. Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), uno de los estad¨ªsticos m¨¢s prominentes del siglo pasado, desarroll¨® la teor¨ªa del dise?o de experimentos en la empresa Rothamsted Research, una de las instituciones agr¨ªcolas m¨¢s antiguas del mundo, dedicada a la experimentaci¨®n en agricultura.

Entre 1919 y 1933, Fisher estuvo contratado por esta empresa, analizando la gran cantidad de datos generados a lo largo de los a?os y proponiendo nuevos experimentos para optimizar la producci¨®n agr¨ªcola. Public¨® sus resultados en varios libros y art¨ªculos, entre los que se destacan M¨¦todos Estad¨ªsticos para Investigadores y Dise?o de Experimentos y El dise?o de experimentos.

El primer paso para aplicar la metodolog¨ªa dise?o de experimentos propuesta por Fisher es definir uno o varios objetivos relacionados con el proceso: lo que buscamos mejorar, que ha de ser medible. Por ejemplo, en el proceso de hacer las mejores palomitas, puede que queramos maximizar el n¨²mero de granos de ma¨ªz que estallan o el di¨¢metro de las palomitas. El primer objetivo est¨¢ relacionado con el rendimiento del proceso y el segundo con la calidad final del producto. Escogeremos el primero, para lo que mediremos, de 100 granos de ma¨ªz, cu¨¢ntos estallan.

A continuaci¨®n, se trata de identificar qu¨¦ factores pueden influir en esa variable; consideraremos el tiempo de cocci¨®n y potencia del microondas. Despu¨¦s, se trata de determinar qu¨¦ configuraci¨®n de estos factores es la ¨®ptima. Para ello, definimos un modelo relativamente sencillo, con ciertos par¨¢metros que describen el efecto de los dos factores seleccionados en nuestra variable objetivo. El modelo viene dado por la siguiente ecuaci¨®n: n¨²mero de palomitas = [valor medio del n¨²mero de palomitas] + [par¨¢metro asociado al efecto del tiempo]*tiempo + [par¨¢metro asociado al efecto de la potencia]*potencia + [par¨¢metro asociado a la interacci¨®n de los dos factores]*tiempo*potencia.

Para calcular los par¨¢metros se realizan experimentos, con diferentes valores de los factores seleccionados. Gracias a la metodolog¨ªa estad¨ªstica del dise?o de experimentos es posible reducir el n¨²mero de pruebas necesarias, obteniendo mucha informaci¨®n con un costo m¨ªnimo. Solo consideramos dos valores de cada factor: 2 y 5 minutos de tiempo y potencia baja y alta. La teor¨ªa de dise?o de experimentos establece que se deben llevar a cabo ¨²nicamente cuatro experimentos, con las posibles combinaciones de estos valores: (2 minutos, potencia baja), (5 minutos, potencia baja), (2 minutos, potencia alta) y (5 minutos, potencia alta). Este dise?o, aunque parece sencillo, aporta muy buenas estimaciones del efecto que tiene aumentar el tiempo y la potencia en el n¨²mero de palomitas.

La ejecuci¨®n debe ser aleatoria para evitar sesgos ¡ªprovocados, por ejemplo, por el cansancio o las ideas preconcebidas¡ª que pudieran influir en el resultado. Tambi¨¦n hemos de intentar que los factores no controlables ¡ªcomo la destreza del experimentador, la temperatura ambiente o el tipo de microondas¡ª no produzcan un sesgo en los resultados; lo ¨²nico que deber¨ªa variar son los factores que estamos estudiando. As¨ª, siempre realizar¨¢ el experimento el mismo individuo ¡ªy, por tanto, su destreza ser¨¢ siempre la misma¡ª, el mismo d¨ªa ¡ªpara mantener la temperatura ambiente¡ª y usando el mismo microondas.

Una vez realizados los experimentos con los valores de tiempo y potencia propuestos, se han obtenido 52, 74, 62 y 80 palomitas respectivamente. Con estos datos, podemos cuantificar los par¨¢metros: el n¨²mero medio de palomitas ¡ªque es la media de los valores obtenidos¡ª, el efecto del factor tiempo ¡ªuna normalizaci¨®n de la media de las diferencias al cambiar el tiempo, en el caso de la potencia alta y de la potencia baja ((80 - 62) + (74 - 52)) / 4¡ª, de la potencia ¡ªel mismo procedimiento, pero considerando las diferencias con los distintos tiempos ((62 - 52) + (80 - 74)) / 4¡ª y de la interacci¨®n de los factores ¡ªuna cuantificaci¨®n de c¨®mo se comporta el n¨²mero de granos de ma¨ªz que estallan cuando se combinan ambos factores ((80 - 62) - (74 - 52)) / 4¡ª. As¨ª podemos completar el modelo para el n¨²mero de palomitas = 67 + 10*tiempo + 4*potencia ¨C tiempo*potencia.

Con este modelo se podr¨ªa inferir el n¨²mero medio de palomitas que se obtendr¨ªa con valores de tiempo y potencia intermedios entre los dos considerados. Por ejemplo, con un tiempo de cocci¨®n de 2,5 minutos y potencia media, se obtendr¨ªan 67. Con todo ello, el experimentador podr¨¢ tomar decisiones basadas en evidencias, para determinar c¨®mo hacer las mejores palomitas de ma¨ªz que nunca antes se hayan probado. Siguiendo los datos de nuestro experimento: coci¨¦ndolas cinco minutos a potencia m¨¢xima, nos aseguraremos tener el mayor n¨²mero posible. Para maximizar otras cuestiones, el lector interesado solo debe seguir los pasos anteriores, considerando los factores que considere m¨¢s relevantes.

Experimentar con un proceso aporta beneficios a la larga. Una vez se obtenga la receta ¨®ptima, esta se repetir¨¢ una y otra vez en el futuro para asegurar una alta calidad del producto. Estas mismas ideas tambi¨¦n se aplican para investigar y mejorar los procesos de fabricaci¨®n, comprender los cambios clim¨¢ticos, brindar una mejor utilizaci¨®n de los servicios de atenci¨®n primaria a gran escala, evaluar los da?os ambientales y desarrollar medicamentos m¨¢s efectivos para los pacientes, por nombrar algunos.

Roberto Dorta Guerra es profesor titular de la Universidad de la Laguna.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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