Luis Santal¨® y el nacimiento de la geometr¨ªa integral en el exilio

La Residencia de Estudiantes es conocida por ser una instituci¨®n cultural donde, entre otras cosas, se forj¨® la generaci¨®n del 27. Sus pabellones, ubicados en Madrid, acogieron a grandes personalidades de las artes, como Federico Garc¨ªa Lorca, Salvador Dal¨ª o Luis Bu?uel. Aunque es menos popular, la Residencia tambi¨¦n tuvo su contribuci¨®n al progreso cient¨ªfico y, en concreto, matem¨¢tico. All¨ª empez¨® la historia acad¨¦mica de Luis Santal¨®, cuyo trabajo sent¨® las bases de una nueva ¨¢rea de investigaci¨®n: la geometr¨ªa integral.

Santal¨® lleg¨® a la Residencia de Estudiantes desde Girona para realizar sus estudios en Ciencias Exactas en la Universidad Central ¨Cprecedente de la Universidad Complutense de Madrid¨C. En esos a?os, Santal¨® forj¨® una especial relaci¨®n con Julio Rey Pastor, gran impulsor de la investigaci¨®n matem¨¢tica en Espa?a y de su institucionalizaci¨®n.

Rey Pastor hab¨ªa realizado estancias en el extranjero, gracias a las pensiones de la Junta para la Ampliaci¨®n de Estudios (JAE) que le hab¨ªa concedido Santiago Ram¨®n y Cajal. En Alemania pudo completar su formaci¨®n como ge¨®metra, de la mano de grandes investigadores de la ¨¦poca como Hermann Schwarz, David Hilbert o Constantin Caratheodory. A su regreso, decidi¨® crear el Laboratorio y Seminario Matem¨¢tico, para facilitar a los alumnos el acceso a la investigaci¨®n. Este se enmarc¨® dentro de una serie de laboratorios cient¨ªficos y centros de investigaci¨®n creados por la JAE. Algunos se encontraban en la propia Residencia de Estudiantes y tuvieron alumnos muy notables, como el Premio Nobel de Medicina Severo Ochoa.

Aquellos seminarios establecieron los cimientos de la futura trayectoria acad¨¦mica de Santal¨®. Animado por Rey Pastor, tras finalizar la licenciatura y un breve paso por la educaci¨®n secundaria, solicit¨® una beca de la JAE para realizar su tesis doctoral en Hamburgo bajo la supervisi¨®n de Wilhelm Blaschke.

El matem¨¢tico alem¨¢n estaba trabajando en un nuevo campo llamado geometr¨ªa integral o probabilidad geom¨¦trica. En 1936 Santal¨® consigui¨® el grado de doctor, realizando importantes avances en esta nueva rama de las matem¨¢ticas. Pero sus investigaciones se vieron truncadas: en este mismo a?o estall¨® la Guerra Civil y Santal¨® se incorpor¨® al ej¨¦rcito republicano, donde trabaj¨® en cuestiones aeron¨¢uticas ¨Cexperiencia que le servir¨ªa para publicar dos libros sobre el tema¨C.

Al finalizar la guerra, Santal¨® cruz¨® la frontera hacia Francia, donde las autoridades dirig¨ªan a los republicanos hacia campos de concentraci¨®n. ?l consigui¨® huir y comunicarse con Rey Pastor, que estaba en Argentina, y Blaschke, en Alemania. Este ¨²ltimo contact¨® con el famoso matem¨¢tico ?lie Cartan para solicitar su ayuda. Santal¨® fue arrestado por carecer de documentaci¨®n y fue el mismo Cartan quien le sac¨® de la c¨¢rcel tras una acalorada discusi¨®n con los polic¨ªas. Despu¨¦s de dar una serie de conferencias en el Instituto Henri Poincar¨¦, puso rumbo a Argentina, gracias al visado que el ingeniero Esteban Terradas le hab¨ªa conseguido.

En Argentina progres¨® en su carrera como matem¨¢tico y estableci¨® los pilares de la geometr¨ªa integral o probabilidad geom¨¦trica. Este campo se desarroll¨® como una rama de la llamada teor¨ªa de la medida, en la que las medidas est¨¢n definidas en un espacio geom¨¦trico y poseen ciertas propiedades de invariancia. Este enfoque sirve para resolver problemas como la paradoja de Bertrand. Esta surge al preguntarse, dada una circunferencia y un tri¨¢ngulo equil¨¢tero inscrito en ella (como el de la imagen inferior): ?cu¨¢l es la probabilidad de que, al pintar una cuerda al azar, su longitud sea mayor que la longitud del lado del tri¨¢ngulo inscrito en la circunferencia? Si elegimos los dos puntos extremos de la cuerda de manera aleatoria, la probabilidad es 1/3. Sin embargo, si escogemos de manera aleatoria el punto medio de la cuerda la probabilidad se reduce a 1/4. Esto nos lleva a una paradoja: distintas formas razonables de abordar el problema producen resultados divergentes.

Para darle soluci¨®n, podemos considerar que la medida de probabilidad debe poseer ciertas simetr¨ªas. Por ejemplo, que dos observadores separados a una distancia deber¨ªan llegar a la misma conclusi¨®n (simetr¨ªa traslacional) al igual que dos observadores que observan desde distintos ¨¢ngulos (simetr¨ªa rotacional). Como coment¨¢bamos, este tipo de invariancias son t¨ªpicas de la probabilidad geom¨¦trica. Con estas bases, el f¨ªsico te¨®rico Edwin T. Jaynes concluy¨® que solo existe una distribuci¨®n de probabilidad que satisfaga estas propiedades y esta da el resultado de 1/2.

Santal¨® continu¨® investigando, en contextos mucho m¨¢s generales y abstractos, estas medidas invariantes bajo ciertos grupos de transformaciones, realizando importantes aportaciones (como la f¨®rmula de Santal¨®). Muchas de ellas quedaron plasmadas en su libro Integral Geometry and Geometric Probability, que pronto se convertir¨ªa en una de las referencias cl¨¢sicas del campo. Sus contribuciones fueron reconocidas en 1983 con el premio Pr¨ªncipe de Asturias.

El impacto de sus ideas llega a otras ¨¢reas de las matem¨¢ticas en principio muy alejadas, como la din¨¢mica de fluidos. Este es el caso de los llamados s¨¢ndwiches ¨ªntegro-geom¨¦tricos, que permiten estimar el n¨²mero de ciertos objetos matem¨¢ticos (como puntos o curvas cerradas) contenidos en una regi¨®n grande del espacio.

Usando los s¨¢ndwiches ¨ªntegro-geom¨¦tricos, aplicados a ¨®rbitas peri¨®dicas, puntos cr¨ªticos, tubos de vorticidad y herraduras topol¨®gicas, se ha demostrado recientemente el comportamiento complejo que exhiben ciertos fluidos en equilibrio, anticipado por el famoso matem¨¢tico ruso Vladimir Arnold en los a?os 60. Curiosamente, parte de este proyecto se ha desarrollado en los mismos pabellones de la Residencia de Estudiantes en la que Santal¨® entraba hace casi cien a?os y usando las herramientas de geometr¨ªa integral que ¨¦l empezaba a crear.

?lvaro Romaniega es doctor en Matem¨¢ticas por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT) y fue becario en Ciencias Naturales y Tecnolog¨ªa en la Residencia de Estudiantes. Actualmente es investigador en finanzas estoc¨¢sticas.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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