C¨®mo mi padre gan¨® 14 primeros premios de loter¨ªa usando matem¨¢ticas

En Espa?a, una de las se?ales m¨¢s reconocibles de la llegada de las fiestas navide?as (desde 1812) es la Loter¨ªa de Navidad. Solo en este pa¨ªs las largas colas en cada quiosco de loter¨ªa, repletas de jugadores que buscan la oportunidad de ganar hasta 4.000.000 de euros, presagian la temporada navide?a. A m¨ª, esta fiebre de loter¨ªa me inspira cierta nostalgia infantil, ya que uno de los negocios de mi padre ha sido jugar a las loter¨ªas. Aunque se sabe perfectamente que las loter¨ªas son una mala apuesta, ya que su esperanza matem¨¢tica es negativa, Stefan Mandel y su sindicato de loter¨ªa ganaron un total de 14 primeros premios en el transcurso de varios a?os.

La esperanza (o valor esperado) es simplemente el promedio de todos los posibles valores de ganancias y p¨¦rdidas, ponderados seg¨²n su probabilidad. Por ejemplo, en una loter¨ªa en la que las participaciones cuestan 2 euros y hay, ¨²nicamente, un primer premio de 4.000.000 euros y un segundo de 1.000.000 euros, la esperanza al comprar un billete es 3.999.998 ¡Á probabilidad de ganar el 1.er premio + 999.998 ¡Á probabilidad de ganar el 2.? premio ? 2¡Á probabilidad de no recibir ning¨²n premio. En general, las probabilidades de ganar un premio son muy peque?as y las de no recibir ninguno, pr¨¢cticamente 1, por lo que el valor esperado es muy cercano a ?2. Sin embargo, bajo ciertas condiciones espec¨ªficas, la esperanza puede ser m¨¢s favorable.

Esto sucede, por ejemplo, si los premios son lo suficientemente grandes. En muchas loter¨ªas (aunque no en El Gordo), cuando no hay ganadores, el primer premio se acumula en el siguiente sorteo. Si esto sucede varias veces seguidas, el primer premio puede crecer tanto que la esperanza sea positiva. Si se espera hasta que sea lo suficientemente grande y, entonces, se adquieren todas las combinaciones posibles de n¨²meros, la ganancia est¨¢ asegurada, siempre que el total de ganadores est¨¦ por debajo de un cierto umbral. Eso es lo que hizo el sindicato de mi padre en varias ocasiones (la m¨¢s famosa, en Virginia, EE UU, as¨ª como en algunas loter¨ªas australianas). Con este enfoque, los principales desaf¨ªos son log¨ªsticos: se deben obtener, completar (mediante un proceso automatizado) y cobrar millones de boletos, utilizando cientos de puntos de venta diferentes (ya que ning¨²n quiosco puede dispensar tantos), todo en un peque?o periodo de tiempo.

Hay otras estrategias menos desalentadoras desde el punto de vista pr¨¢ctico y m¨¢s interesantes desde el punto de vista matem¨¢tico. Supongamos que queremos jugar a una loter¨ªa en la que se extraen seis n¨²meros de un total de 40, y en la que los billetes que tienen cinco n¨²meros de los seis ganadores obtienen un segundo premio. Si se compran los billetes que tengan todas las posibles combinaciones de cinco n¨²meros, en lugar de seis, est¨¢ garantizada la ganancia de todos los segundos premios.

Para hacer esto de manera eficiente, necesitamos una estructura matem¨¢tica llamada ¡°dise?o recubridor¡±; en nuestro caso, ser¨ªa un recubrimiento (40, 6, 5). Esta es una colecci¨®n C de subconjuntos de seis elementos de un conjunto V de 40 elementos, de modo que cualquier subconjunto de cinco elementos de V es un subconjunto de un elemento de C. Estos conceptos se definen, en general, para cualquier otro valor de los par¨¢metros.

Un dise?o recubridor ¡°bueno¡± debe ser lo m¨¢s peque?o posible, y uno ¡°perfecto¡± (en el que cada subconjunto de cinco elementos est¨¢ contenido exactamente en un conjunto de C) se denomina sistema de Steiner. Este no siempre existe, y, si existe, generalmente es dif¨ªcil de encontrarlo. El tama?o de un recubrimiento m¨ªnimo se llama n¨²mero de recubrimiento. En las d¨¦cadas de 1960 y 1970, los matem¨¢ticos establecieron l¨ªmites inferiores y superiores para este valor, dependientes de los par¨¢metros. Para el recubrimiento (40, 6, 5), estos l¨ªmites establecen que necesitamos al menos 109 674 participaciones y como m¨¢ximo 306 166. En consecuencia, no es posible obtener un sistema Steiner ¨Cya que con un simple c¨¢lculo sabemos que este tendr¨ªa 109 668 elementos¨C.

Supongamos que hemos encontrado uno bastante bueno cuyo tama?o est¨¢ entre los dos l¨ªmites: 200.000. Al jugar los 200.000 boletos correspondientes, estos cubren todas las 658 008 combinaciones posibles de cinco n¨²meros y tenemos la garant¨ªa de ganar seis segundos premios y muchos otros premios menores. Por otro lado, hay colecciones de 200 000 billetes que incluyen menos del 10% de las combinaciones de cinco n¨²meros, por lo que la esperanza aumenta significativamente al usar el dise?o recubridor. Sin embargo, no crece lo suficiente para que esta sea positiva.

Cuando era adolescente en Rumania, mi padre qued¨® fascinando con los dise?os recubridores y desarroll¨® algoritmos para construirlos. Al principio, lo hizo movido por pura curiosidad matem¨¢tica ¡ªlos dise?os recubridores son objetos fascinantes, con conexiones con la geometr¨ªa proyectiva finita y con la teor¨ªa de grupos¡ª aunque poco tiempo despu¨¦s encontr¨® una aplicaci¨®n pr¨¢ctica. Adem¨¢s, se dio cuenta de que la clave para que funcionara la estrategia de dise?os recubridores era combinarla con la primera que hemos explicado.

As¨ª, mi padre y sus socios esperaron hasta que el premio mayor fuera lo suficientemente grande como para que la esperanza al emplear su dise?o recubridor (ya incrementada) estuviera por encima de cierto valor positivo. Al repetir esto suficientes veces ¡ªjugando siempre con el mismo dise?o recubridor¡ª, sab¨ªan que era muy probable que ganaran el primer premio. Adem¨¢s, sab¨ªan exactamente cu¨¢nto recuperar¨ªan de las p¨¦rdidas con los segundos premios que ten¨ªan garantizados cuando no ganaran el premio mayor. As¨ª fue como mi padre gan¨® su primera loter¨ªa en Rumania.

Pero ninguna de estas estrategias es aplicable a El Gordo. En primer lugar, en la Loter¨ªa de Navidad se escogen n¨²meros individuales, del 0 al 99 999, para cada premio, por lo que los dise?os recubridores no se pueden aplicar y, adem¨¢s, en caso de que nadie tuviera el n¨²mero premiado, la ganancia la recibe Hacienda, no se acumula para el siguiente a?o. Pese a ello, estoy pensando en comprar un boleto. Aunque no hered¨¦ el entusiasmo por las loter¨ªas de mi padre, s¨ª su fascinaci¨®n por la belleza de las matem¨¢ticas, que finalmente se convirtieron en mi carrera. Como agradecimiento, una participaci¨®n de El Gordo (que ser¨¢ la primera para ¨¦l) puede ser un buen regalo de Navidad.

Richard Mandel es investigador posdoctoral en la Universidad del Pa¨ªs Vasco

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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