Encuentran una explosi¨®n en las ecuaciones de los fluidos gracias al aprendizaje profundo

Las ecuaciones de Euler, propuestas en 1752, y las de Navier-Stokes ¨Centre 1822 y 1842¨C son herramientas fundamentales para describir, en t¨¦rminos matem¨¢ticos, el comportamiento de los fluidos incompresibles ¨Ces decir, que no se pueden comprimir, como el agua¨C. Permiten entender fen¨®menos naturales como el flujo de los r¨ªos o la ruptura de las olas. Sin embargo, la resoluci¨®n de estas ecuaciones ¨Cincluso con la ayuda de potentes ordenadores¨C resulta muy dif¨ªcil y costosa. Aun 250 a?os despu¨¦s de haberse escrito, suponen un misterio matem¨¢tico.

Una de las preguntas fundamentales sobre ellas es si, partiendo de condiciones iniciales suaves ¨Cpor ejemplo, si el mar est¨¢ en calma¨C se puede desencadenar una singularidad ¨Cun tsunami¨C en las ecuaciones tras un periodo de tiempo finito. En t¨¦rminos matem¨¢ticos, la singularidad se produce cuando las variables que modelan el fen¨®meno f¨ªsico, como la velocidad o la presi¨®n, pasan, de tener valores finitos, a ser infinitamente grandes, en un tiempo finito. Este es uno de los llamados problemas del milenio ¨Cel de las ecuaciones de Navier-Stokes-, cuya resoluci¨®n est¨¢ premiada con un mill¨®n de d¨®lares.

Aunque ha habido avances parciales (como este y este otro), hasta el momento, todos los intentos por resolver esta cuesti¨®n han fracasado. Uno de los motivos es que no se entienden suficientemente bien las singularidades. Por ejemplo, no sabemos predecir cu¨¢n r¨¢pido se puede formar un torbellino o d¨®nde ocurrir¨¢.

Con un ordenador podemos mejorar nuestra comprensi¨®n de estos objetos, a trav¨¦s de experimentos num¨¦ricos que aproximan bien ciertas soluciones de la ecuaci¨®n, candidatas a producir singularidades, es decir, a tomar valores infinitos, en un tiempo finito. A lo largo de los a?os, la comunidad ha identificado diversas soluciones num¨¦ricas de este tipo. Y, a medida que el poder de computaci¨®n ha ido creciendo, estas candidatas han refutadas o validadas y complementadas con otras.

En 2014, Guo Luo (investigador de la Universidad Hang Seng de Hong Kong) y Thomas Y. Hou (Universidad de Caltech) produjeron una simulaci¨®n de un fluido que se encontraba dentro de un cilindro, que, bajo ciertas condiciones de partida, parec¨ªa dar lugar a una singularidad.

Luo y Hou afirmaban que su singularidad era de un tipo concreto, llamado localmente autosimilar. En este tipo de soluciones, a medida que nos acercamos al momento de la singularidad, si hacemos zoom a la escala adecuada, observamos de nuevo la misma soluci¨®n, como si fuera un fractal.

Pero, pese a lo prometedor del planteamiento, sus simulaciones tardaban meses en calcularse y eran dif¨ªciles de replicar. Adem¨¢s, ofrec¨ªan solo soluciones de un tipo concreto, llamadas estables, que, seg¨²n la opini¨®n generalizada de la comunidad matem¨¢tica, no permitir¨ªan resolver el problema de Navier-Stokes. Recientemente, casi 10 a?os despu¨¦s, un grupo interdisciplinar de investigadores formado por un matem¨¢tico espa?ol y otro australiano-brit¨¢nico, y dos geof¨ªsicos ¡ªchino y taiwanesa¡ª, han confirmado la propuesta de Luo y Hou, hallando soluciones autosimilares para varios tipos de ecuaciones de los fluidos. Algunas de ellas son de tipo inestable ¡ªes decir, como las que se espera que puedan resolver el problema del milenio¡ª. Este nuevo m¨¦todo permite comprender d¨®nde y c¨®mo se forma la singularidad y la forma que tiene la soluci¨®n en cualquier momento antes de la explosi¨®n, incluso un instante antes.

Para ello, han hecho uso de t¨¦cnicas de machine learning en matem¨¢tica aplicada. En concreto, los investigadores parten de una soluci¨®n aproximada que se va refinando gracias a una red neuronal, valorando en cada iteraci¨®n lo bien que la aproximaci¨®n satisface las ecuaciones, para mejorar la soluci¨®n. Por ejemplo, si al aumentar el valor de la soluci¨®n en un punto concreto, el error cometido al aproximar la ecuaci¨®n se hace m¨¢s peque?o, la red neuronal intentar¨¢ encontrar una nueva candidata en esa direcci¨®n.

Es la primera vez que se usa el machine learning para resolver problemas de mec¨¢nica de fluidos lo que, para el grupo de cient¨ªficos, ha permitido aproximar mejor la soluci¨®n de la ecuaci¨®n estudiada, adem¨¢s, empleando mucho menos recursos computacionales. As¨ª, los c¨¢lculos que antes tardaban meses con un cl¨²ster ahora se pueden realizar en varias horas con un port¨¢til. Esto, seg¨²n afirman los autores, abre una nueva era de la interacci¨®n entre el c¨¢lculo tradicional y las herramientas computacionales m¨¢s modernas.

Asimismo, aunque se han estudiado las ecuaciones en un caso confinado ¨Cdentro de un cilindro, como propon¨ªan Luo y Hou¨C, las conclusiones obtenidas pueden servir para analizar mejor el caso general ¨Cincluso en situaciones modelizadas por otras ecuaciones¨C. En particular, es posible que tambi¨¦n se puedan aplicar para estudiar el problema de Navier-Stokes ¨Cel del milenio¨C que requiere que el fluido no est¨¦ confinado, entre otras diferencias t¨¦cnicas. Por tanto, a¨²n no podemos afirmar que este tipo de t¨¦cnicas de machine learning vayan a encontrar la codiciada singularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero los ¨²ltimos resultados en esta direcci¨®n son muy prometedores y, quiz¨¢s, tan solo falte encontrar el candidato a soluci¨®n adecuado para ver resuelto el famoso problema.

Javier G¨®mez-Serrano es profesor en la Universidad de Brown (EE UU)

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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