Grandes retos en las ecuaciones de los fluidos

Uno de los grandes desaf¨ªos de la ciencia es predecir el comportamiento de los fluidos a partir de las ecuaciones que describen su din¨¢mica. Esto permite comprender fen¨®menos f¨ªsicos ¡ªcomo la formaci¨®n de tornados, de frentes de aire de diferentes temperaturas, de olas y tsunamis, o la ruptura de una gota¡ª lo que facilita, por ejemplo, la predicci¨®n meteorol¨®gica o el estudio de posibles inundaciones.

El estudio de estas ecuaciones da lugar a una de las preguntas incluidas entre los siete problemas del milenio, cuya resoluci¨®n est¨¢ premiada con un mill¨®n de d¨®lares. Tambi¨¦n ha motivado otras cuestiones de gran inter¨¦s en la investigaci¨®n matem¨¢tica actual, sobre las que se est¨¢n obteniendo importantes avances en estos a?os.

En 1755 el matem¨¢tico Leonhard Euler escribi¨® por primera vez las ecuaciones diferenciales que llevan su nombre y que rigen el movimiento de un fluido ideal, es decir, que est¨¢ libre de las fuerzas de fricci¨®n provocadas por las interacciones entre las mol¨¦culas que lo forman. A?os despu¨¦s, en 1822, Claude-Louis Henri Navier e, independientemente, en 1845, George Gabriel Stokes, estudiaron el caso de un fluido viscoso, que s¨ª est¨¢ sujeto a fuerzas de fricci¨®n, e introdujeron en el modelo de Euler un nuevo t¨¦rmino, el de la viscosidad, llegando a las ecuaciones que hoy denominamos de ¡°Navier-Stokes¡±.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen la din¨¢mica de los fluidos a partir de la ley de conservaci¨®n de la masa y la segunda ley de Newton. Esta asocia la aceleraci¨®n de las part¨ªculas con las fuerzas que act¨²an sobre ellas: las variaciones espaciales de la presi¨®n, las fuerzas de rozamiento entre las mol¨¦culas ¨Cque definen c¨®mo de viscoso es un fluido¨C y posibles fuerzas externas como la gravitatoria. A esto se suma la ecuaci¨®n que recoge la incompresibilidad del fluido. Adem¨¢s, la din¨¢mica podr¨ªa depender de otros factores, como la temperatura o la presencia de un campo magn¨¦tico, que har¨ªan que el modelo fuera a¨²n m¨¢s complejo.

Estas ecuaciones funcionan de la siguiente manera: t¨² les dices cu¨¢l es la velocidad del fluido en un determinado momento del tiempo ¨Clo que se conoce como dato inicial¨C y, al resolverlas, ellas te devuelven la velocidad de ese fluido en cualquier momento posterior ¨Cla soluci¨®n¨C. Desgraciadamente, la resoluci¨®n de estas ecuaciones no es sencilla.

La dificultad del an¨¢lisis de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes radica en que son sistemas inestables ¨Cen los que peque?as perturbaciones pueden cambiar por completo la configuraci¨®n del sistema¨C, no lineales ¨Clas respuestas no son proporcionales al est¨ªmulo que las provoca¨C y no locales ¨Clo que ocurre en un punto no depende solo de lo que sucede en su entorno inmediato, sino del estado de todo el fluido¨C.

De hecho, no fue hasta principios del siglo pasado cuando se demostr¨® la existencia de soluciones de estas ecuaciones. En 1933, el franc¨¦s Jean Leray prob¨® la existencia y unicidad de soluciones regulares. Estas son velocidades suaves, en las que no se producen cambios bruscos, lo que se corresponde, en t¨¦rminos matem¨¢ticos, a funciones diferenciables. Por ejemplo, la velocidad del agua que discurre tranquila por los meandros de un r¨ªo es suave, mientras que la que corre por sus r¨¢pidos es irregular. Leray prob¨® que, partiendo de una velocidad regular, hay una ¨²nica velocidad, tambi¨¦n regular, que var¨ªa con el tiempo, y resuelve las ecuaciones durante cierto intervalo temporal futuro (que depende del dato inicial). M¨¢s all¨¢ de ese intervalo, Leray no fue capaz de asegurar que las ecuaciones tuvieran soluci¨®n.

Un a?o despu¨¦s introdujo en las ecuaciones de Navier-Stokes la noci¨®n de ¡°soluci¨®n d¨¦bil¡±, que puede ser regular o irregular, y prob¨® que siempre, para cualquier momento del tiempo, existen este tipo de soluciones . En principio, las velocidades que resuelven Navier-Stokes deber¨ªan ser suaves, pero el concepto de soluci¨®n d¨¦bil aporta una nueva manera de entender estas ecuaciones, de modo que puedan dar lugar a soluciones tambi¨¦n irregulares.

A partir de estas ideas surgen dos de los problemas matem¨¢ticos m¨¢s importantes del ¨¢rea. El primero es determinar si hay soluciones regulares para todo tiempo o, por el contrario, estas se convierten en irregulares en alg¨²n momento. Cuando esto sucede, se dice que se forma una singularidad. Si se considera el fluido en dos dimensiones, Witold Wolibner y Leray demostraron que no se producen singularidades, y que sus soluciones existen y se preservan regulares para todo tiempo. Pero en tres dimensiones el problema todav¨ªa est¨¢ abierto. Esta cuesti¨®n est¨¢ incluida en la lista de problemas del milenio de la Fundaci¨®n Clay, y su resoluci¨®n est¨¢ premiada con un mill¨®n de d¨®lares.

El segundo problema se pregunta por la unicidad de las soluciones d¨¦biles. Es decir, ?puede haber dos soluciones d¨¦biles distintas que comiencen en el mismo dato inicial? O, ?dado un dato inicial solo puede haber una ¨²nica soluci¨®n d¨¦bil? Desde una perspectiva cl¨¢sica, uno espera que una misma situaci¨®n no d¨¦ lugar a dos futuros diferentes. Sin embargo, se sabe que esto no es as¨ª para la ecuaci¨®n de Euler. Para la de Navier-Stokes en dos dimensiones sabemos que s¨ª hay unicidad de soluciones d¨¦biles, y en tres dimensiones no sabemos lo que sucede.

En los ¨²ltimos a?os ha habido grandes avances en la resoluci¨®n de este problema, entre las que destaca un trabajo reciente de Trist¨¢n Buckmaster y Vlad Vicol. Estos investigadores han demostrado que, si se consideran soluciones a¨²n m¨¢s d¨¦biles que las de Leray, entonces no hay unicidad. Sin embargo, la unicidad de las de Leray sigue siendo una inc¨®gnita que cient¨ªficos en todo el mundo tratan de resolver.

?ngel Castro y Diego C¨®rdoba son investigadores del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±

Traducci¨®n, edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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