Las cat¨¢strofes tienen una explicaci¨®n matem¨¢tica

Ganador de la Medalla Fields -uno de los m¨¢s importantes galardones del mundo en la especialidad- en 1965, Ren¨¦ Thom es al mismo tiempo un pensador cuya reflexi¨®n relaciona las matem¨¢ticas con la filosof¨ªa, la magia y la poes¨ªa, ya que la teor¨ªa de las cat¨¢strofes no es una teor¨ªa de las matem¨¢ticas, sino una teor¨ªa matem¨¢tica para formalizar la realidad.Pregunta. Si se quiere comprende y resumir intelectualmente la teor¨ªa de las cat¨¢strofes, cabe afirmar que se trata de optar entre la f¨®rmula de Her¨¢clito "todo cambia constantemente" y la de Parm¨¦nides "las cosas s¨®lo cambian en apariencia". Usted elige finalmente a Parm¨¦nides, aun a costa de sus creencias m¨¢s profundas.

Respuesta. Yo comet¨ª un error filos¨®fico: en un principio me profes¨¦ heracliteano. Her¨¢clito y Parm¨¦nides fueron conscientes sin duda de que sus teor¨ªas eran inaceptables en ¨²ltimo extremo, porque la realidad es una amalgama de orden y desorden, de cambio y estabilidad Her¨¢clito explicaba la estabilidad de las cosas partiendo del postula do del movilismo universal. Apelaba para ello a la noci¨®n de logos. Estamos en una especie de ola universal, existen estructuras estables a modo de torbellinos y estos torbellinos son soportes de los objetos permanentes. Tal es mi interpretaci¨®n, que es tambi¨¦n la de Heidegger.

P. ?Y Parm¨¦nides?

R. Pese a su tesis de la identidad, no pod¨ªa menos de reconocer que las cosas cambiaban. Lo que pretende es que el cambio es s¨®lo aparente. Es la doxa. Para m¨ª, apelar a la doxa es enga?ar. Sin embargo, esta idea ha reaparecido en la teor¨ªa de la relatividad de Einstein. Muy esquem¨¢ticamente, la idea es que el cambio no est¨¢ en las cosas, est¨¢ simplemente en el punto de referencia del observador. Ahora bien, el observador cambia constantemente, al menos en el sentido de que va envejeciendo. Se trata de una problem¨¢tica muy moderna. La f¨ªsica fundamental se basa en las reglas que permiten obtener el consenso intersubjetivo a partir . de las visiones de distintos observadores.

P. Su reflexi¨®n inicial era m¨¢s personal...

R. Efectivamente, en un principio llegu¨¦ a la teor¨ªa de las cat¨¢strofes guiado por mis trabajos en matem¨¢ticas. Yo fui de los pioneros de la topolog¨ªa diferencial. Impresionado por los trabajos de algunos matem¨¢ticos americanos (Hasler, Whitney, entre ellos) que estudiaron las aplicaciones diferenciales de espacios euclidianos, y prolongando esta l¨ªnea de ideas, llegu¨¦ a la teor¨ªa de las cat¨¢strofes. Para ser, m¨¢s concreto, rehabilit¨¦ en un primer tiempo la teor¨ªa de las envolventes, que hab¨ªa sido eliminada por los defensores de las matem¨¢ticas denominadas modernas.

P. La teor¨ªa de las cat¨¢strofes es una teor¨ªa matem¨¢tica, mas no una teor¨ªa de la matem¨¢tica. ?Puede aclarar esto?

R. La mayor parte de la matem¨¢tica tiene. un origen end¨®geno, es decir, la teor¨ªa correspondiente nace de las necesidades de la matem¨¢tica misma. La teor¨ªa de las cat¨¢strofes, en cambio, no es una teor¨ªa de la matem¨¢tica, porque es fundamentalmente una metodolog¨ªa, es un medio, frente a cualquier tipo de situaci¨®n experimental, frente a cualquier fenomenolog¨ªa, para interpretar dicha situaci¨®n o fenomenolog¨ªa, para intentar derivar de ella interpretaciones que permitan ir un poco m¨¢s lejos que la fenomenolog¨ªa propiamente dicha.

P. ?Se trata de un modelo?

R. La teor¨ªa de las cat¨¢strofes, en la medida en que s¨®lo ofrece excepcionalmente medios de control, medios de dominio, no entra en esa perspectiva.

P. ?Se trata de una teor¨ªa hermen¨¦utica, es decir, de una teor¨ªa encaminada a la interpretaci¨®n de los fen¨®menos?

R. Efectivamente. Y esa interpretaci¨®n s¨®lo desemboca excepcionalmente en dominio o en una mayor posibilidad de control.

P. ?Cabe afirmar que la cat¨¢strofe es el salto de lo continuo a lo discontinuo?

R. S¨ª, cabe afirmarlo del modo m¨¢s terminante. La teor¨ªa de las cat¨¢strofes, en efecto, se propone explicar la aparici¨®n de accidentes discontinuos en ¨¢mbitos continuos cuando surgen discontinuidades all¨ª donde no las hab¨ªa inicialmente. Se trata de explicar este tipo de fen¨®menos de un modo suficientemente sistem¨¢tico.

P. Seg¨²n eso, la teor¨ªa de las cat¨¢strofes es...

R. ...Un instrumento para dar raz¨®n de las discontinuidades. Hay dos modos de dar raz¨®n de las discontinuidades: se puede insertar una discontinuidad observada en otra discontinuidad que la precede y la produce: es el lenguaje que podemos llamar tradicional. En el lenguaje corriente, cuando nos preguntan por qu¨¦ ocurre algo, intentamos identificar una causa, y la causa, en general, es algo discontinuo. Tomemos el ejemplo del sujeto gramatical. El sujeto gramatical de una frase es el agente que causa el proceso y que lo provoca. Evidentemente, este modo de razonar est¨¢ muy arraigado en la mente y es muy dif¨ªcil ofrecerle resistencia. La teor¨ªa de las cat¨¢strofes propone otra v¨ªa, que consiste en afirmar que un fen¨®meno puede surgir en cierto modo espont¨¢neamente, partiendo de un ¨¢mbito continuo. Es algo similar al cambio de fase en f¨ªsica: tomando agua a una temperatura positiva y haci¨¦ndola enfrian, aparecen en un determinado momento costras de hielo. Ahora bien, las costras de hielo aparecen inicialmente en un medio distinto: el agua l¨ªquida, al menos te¨®ricamente.

De la poes¨ªa a la magia

P. ?Por qu¨¦ utiliz¨® la palabra cat¨¢strofe? Se dice que es un gran ¨¦xito de marketing el haber encontrado una palabra tan atractiva.

R. Sustitu¨ª la discontinuidad por la cat¨¢strofe porque quer¨ªa sugerir la idea de una din¨¢mica subyacente. La discontinuidad no sugiere necesariamente la idea de una din¨¢mica subyacente, mientras que la palabra cat¨¢strofe sugiere efectivamente la idea de dinamismo. Por otra parte, la terminolog¨ªa de la teor¨ªa de las cat¨¢strofes no es m¨ªa; su autor es mi colega Christopher Zeeman.

P. ?Y usted, sigui¨® en esa l¨ªnea?

R. Una vez que el mal est¨¢ hecho, hay que explotarlo hasta el final.

P. Los t¨¦rminos que usted ha inventado para describir los diversos tipos de cat¨¢strofes elementales: el pliegue, el frunce, la cola de milano, la mariposa, el ombligo hiperb¨®lico, el ombligo el¨ªptico, el ombligo parab¨®lico, poseen una tonalidad po¨¦tica...

R. Se dice a menudo que nada se asemeja tanto a la matem¨¢tica de alto nivel como la poes¨ªa.

P. ?De qu¨¦ puede servir a nivel pr¨¢ctico su teor¨ªa?

R. Para prever, por ejemplo, la ca¨ªda de un acantilado, el rompimiento de una ola, o, como ha intentado hacer mi colega Zeeman, las revueltas en una prisi¨®n o las cat¨¢strofes econ¨®micas.

P. ?No es cierto que sus trabajos tienden a privilegiar la geometr¨ªa dentro de las matem¨¢ticas?

R. Mi af¨¢n ha sido, en efecto, sustituir la termodin¨¢mica por la geometr¨ªa.

P. ?Cree usted que la teor¨ªa de las cat¨¢strofes permite vincular la ciencia y la magia?

R. Efectivamente.

El milagro de la f¨ªsica

P. Habla usted de la pretensi¨®n irracional de los matem¨¢ticos a representar la realidad.

R. Me refiero de hecho a la f¨®rmula del f¨ªsico Wigner. ?ste expresa lo que cabe llamar el milagro de la f¨ªsica. La f¨ªsica es la ¨²nica ciencia, a mi entender, que es cuantitativamente exacta (al menos parcialmente), y creo que es un milagro que no se repetir¨¢ en las otras ciencias.

P. ?Por qu¨¦ es un milagro?

R. Es un milagro que se relaciona con la geometr¨ªa del espacio-tiempo. Consiste en que la f¨ªsica construye conceptos de un modo derivado, partiendo de la geometr¨ªa del espacio-tiempo, y resulta ser as¨ª una especie de objeto global. Todo esto surge de la geometr¨ªa del espacio-tiempo, a?adiendo algunos postulados accesorios en referencia a un determinado grupo de simetr¨ªa o al valor de ciertas constantes num¨¦ricas, como la constante de Planck.

P. Afirma usted tambi¨¦n que la matem¨¢tica no tiene derecho a dictar nada a la realidad.

R. En efecto, la matem¨¢tica pertenece al ¨¢mbito de la abstracci¨®n y puede dictar cosas en la esfera de lo abstracto, mas no debe tener la pretensi¨®n de imponer nada a la realidad. S¨®lo en el campo de la f¨ªsica o de la mec¨¢nica -donde hay leyes subyacentes- cabe extraer de las matem¨¢ticas determinadas predicciones que son efectivamente exactas. Pero eso es un milagro, repito.

P. Muchas veces se ha criticado su f¨®rmula "s¨®lo el matem¨¢tico tiene derecho a ser inteligente". Se ha considerado esta frase como una manifestaci¨®n cuasi paranoica de imperialismo matem¨¢tico.

R. Quise decir simplemente esto: cuando se leen ciertos textos decencias humanas (L¨¦vi-Strauss, Max Weber o Jacobson) se tiene al pronto una impresi¨®n de extraordinaria inteligencia. Se trata de mentes muy capaces, contrariamente a lo que ocurre en las ciencias experimentales, donde, como dijo Heidegger en 1928, Ia ciencia no piensa". La mayor parte de los cient¨ªficos, en efecto, no piensan, y la teor¨ªa a la que se vinculan suele ser una teor¨ªa extraordinariamente rudimentaria, basada en efectos, causativos de car¨¢cter inmediato. En ciencias humanas se puede ser inteligente, mientras que en ciencias exactas es dif¨ªcil serlo. En ciencias humanas se manipulan conceptos, por ejemplo, los conceptos de poder, de clase, de legitimidad, que son extremadamente sutiles y que desempe?an un papel fundamental en nuestra interpretaci¨®n de las sociedades, en sociolog¨ªa y en sociopol¨ªtica.

Lo malo es que estos conceptos no son susceptibles de una definici¨®n intr¨ªnseca y, si se quiere dar un estatuto cient¨ªfico a este g¨¦nero de consideraciones, es preciso establecer para tales conceptos una especie de formalizaci¨®n, es decir, insertarlos en una morfolog¨ªa reconocida como tal mediante el consenso de los cient¨ªficos de la disciplina correspondiente. A mi juicio, la primera fase de toda disciplina es la fase morfol¨®gica. Es evidente que las ciencias humanas no han llegado a¨²n a esta fase, al menos en muchos aspectos. Esto se constata a la hora de traducir los conceptos de las ciencias humanas de una lengua a otra.

Es precisamente la dificultad de esa traducci¨®n lo que impide considerar como cient¨ªficas las consideraciones, muy inteligentes por otra parte, que se hacen en ciencias humanas, ya que rara vez se puede lograr el consenso. As¨ª las cosas, ?por qu¨¦ s¨®lo el matem¨¢tico tiene derecho a ser inteligente? Porque s¨®lo existe teorizaci¨®n en matem¨¢tica. En ciencias, la ¨²nica teorizaci¨®n concebible es la teorizaci¨®n matem¨¢tica. S¨®lo la formalizaci¨®n matem¨¢tica extra¨ªda del tratimiento geom¨¦trico de una morfolog¨ªa es capaz de establecer la formaci¨®n de los conceptos y su deducci¨®n al mismo tiempo.

El rigor, cuesti¨®n de intendencia

P. ?Y todo lo dem¨¢s?

R. Lo dem¨¢s son cosas extremadamente interesantes, pero sus estatutos cient¨ªficos son dudosos. No hay por qu¨¦ creer que s¨®lo el cient¨ªfico sea interesante. Yo no comparto esta opinion en modo alguno. Hay teor¨ªas, como el psicoan¨¢lisis, que seg¨²n demostr¨® Popper, son infalseables y, por tanto, seg¨²n ¨¦l, no cient¨ªficas. Pero, aunque se acepte esta opini¨®n, el psicoan¨¢lisis es infinitamente m¨¢s interesante que muchas teor¨ªas cient¨ªficas exactas.

P. Usted no es un verdadero matem¨¢tico, en cuanto que orienta la matem¨¢tica hacia otros centros de inter¨¦s.

R. Sin duda, se trata quiz¨¢ de una huida hacia adelante, debido a que la matem¨¢tica me resulta ya demasiado dif¨ªcil.

P. ?Le gustan las paradojas?

R. No, la matem¨¢tica es realmente dif¨ªcil. Es la ciencia m¨¢s dif¨ªcil. Nadie lo puede negar; quiz¨¢, la f¨ªsica te¨®rica sea m¨¢s dif¨ªcil a¨²n, y ello porque exige adem¨¢s una percepci¨®n de la realidad que no existe en matem¨¢tica.

P. Usted ha escrito "el rigor v¨ªene despu¨¦s". ?Qu¨¦ quer¨ªa decir?

R. Era s¨®lo la par¨¢frasis a una frase muy conocida del general De Gaullle. Quise decir que el rigor en matem¨¢tica es fundamentalmente una cuesti¨®n de intendencia.

P. ?Por qu¨¦?

R. Porque, en general, cuando se ha descubierto algo en matem¨¢tica no se sabe demostrarlo correctamente; ni siquiera se proponen buenas definiciones.

P. ?Qu¨¦ hace usted entonces?

R. Como la necesidad obliga, se resuelve el problema intuitivamente.

P. Se opone usted a los partidarios del "orden mediante el ruido"?

R. El orden mediante el ruido nos lleva un poco a esa tendencia epistemol¨®gica rrioderna que consiste en afirmar que toda la ciencia va a cambiar de modo considerable y que aparece una scienza nuova que arrumbar¨¢. el determinismo,y se limitar¨¢ a consideraciones estad¨ªsticas. La idea subyacente, las motivaciones profundas de esta tendencia, son cixtreinadamente variables. Hay personas, como Edgar Morin, que querr¨ªan en cierto modo desmixtificar el poder de la ciencia, el prestigio de la ciencia en la sociedad contempor¨¢nea, y todo eso ser¨ªa muy bueno si se pudiera sorprender a la ciencia en contradicci¨®n consigo misma, a fin de poder reintroducir en ella un poco de libertad humana y un poco de responsabilidad humana en los procesos sociales. Es una, motivaci¨®n, sin duda.

P. ?Cree usted que eso es err¨®neo?.

R. Estimo que no hay que mirar las cosas de ese modo. Yo creo que existe la ciencia y que existe la ¨¦tica, y que no son lo mismo. La ciencia tiene como fin la elevaci¨®n de un saber a priricipio universal e irreversiblemente adquirido. ?se es el fin. Por otra parte, hay problemas de ¨¦tica que consisten en saber lo que debemos hacer. La ciencia puede decirnos a veces c¨®mo debemos hacer las cosas, mas no puede dec¨ªrnos lo que debemos hacer.

P. En otros t¨¦rminos, ?la ciencia no es normativa?

R. La ciencia no tiene ninguna pretensi¨®n de normatividad. Ni debe tenerla. Hay dos tipos de defensores del orden mediante el ruido: las personas que quieren desmixtificar la ciencia, como Edgar Morin, y las que han planteado el problema de la morfog¨¦nesis biol¨®gica, como Forster. Ellas han intentado explicar la emergencia. Estas ¨²ltimas han intentado explicar el origen del orden biol¨®gico a partir de situaciones inicialmente ca¨®ticas recurriendo a una especie de principio misterioso del orden mediante el ruido.

P. ?El ruido es lo que se opone a la se?al?.

R. En efecto, es lo que se considera como no significante y perturbador. Esas personas, en lugar de considerar tales perturbaciones como no significantes, afirman que son en realidad el germen de la estructura completa. En Francia, esta idea sirve de base a la tradici¨®n bachelardiana seg¨²n la cual lo que cuenta en las ciencias son los peque?os fen¨®menos aleatorios. Se trata, a mi juicio, de una actitud fundamentalmente anticient¨ªfica, pero se comprende que pueda fascinar a ciertas mentes.

P. ?Cree usted en Dios?.

R. Creo en una ontolog¨ªa estratificada, lo cual significa que creo que hay varios planos de existencia y que no es f¨¢cil concebir las relaciones que puedan darse entre esos diversos planos de existencia. Es un arduo problema metaf¨ªsico, es el problema del origen, el problema de la procesi¨®n de los neoplat¨®nicos. ?C¨®mo explicar que un plano de existencia pueda ramificarse partiendo de otro plano, salir de ¨¦l por una especie de exfoliaci¨®n? Yo no lo s¨¦....

P. ?Por eso es usted polite¨ªsta?.

R. En efecto, creo que la noci¨®n de un Dios ¨²nico es una noci¨®n demasiado sintetizante para ser aceptable.