La ¨²ltima pieza del rompecabezas

M¨¢s de 200 p¨¢ginas de c¨¢lculos y deducciones ocupa la demostraci¨®n del ¨²ltimo Teorema de Fermat presentada por el matem¨¢tico brit¨¢nico Andrew Wiles el pasado mi¨¦rcoles en la universidad de Cambridge (Reino Unido). El anuncio de la resoluci¨®n de uno de los mayores desaf¨ªos de las matem¨¢ticas, enunciado hace 356 a?os, aunque todav¨ªa sin confirmar, ha producido un gran revuelo entre los cient¨ªficos de este ¨¢rea. Ahora, ese largu¨ªsimo estudio ser¨¢ sometido a intenso escrutinio por equipos de especialistas colegas de Wiles para confirmar que todos los pasos de la demostraci¨®n presentada son correctos. Antonio C¨®rdoba, catedr¨¢tico de An¨¢lisis Matem¨¢tico de la Universidad Aut¨®noma de Madrid, explica el teorema y el camino que se ha seguido para lograr lo que parece ser su definitiva resoluci¨®n.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadrato quadratos quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ajusdem nominis fas est dividire: cujus rei demostrationem mirabilem sane detexi. Manc marginis exiguitas non caperet. Este es el texto latino que se encuentra en la edici¨®n del libro de Diofanto de Alejandr¨ªa usado por Pierre de Fermat con el que formul¨® su famoso ¨²ltimo Teorema. El momento hist¨®rico es hacia mediados del siglo XVII. Fermat, un abogado aficionado a las matem¨¢ticas, escribi¨® en los m¨¢rgenes del citado libro sus descubrimientos en torno a la Teor¨ªa de los N¨²meros, muchos de los cuales supusieron avances importantes de las matem¨¢ticas de su tiempo. En particular escribi¨® la afirmaci¨®n anterior que, en rom¨¢n paladino, podemos traducir as¨ª:La ecuaci¨®n x^n+y^n=z^n, cuando n es un n¨²mero entero igual o mayor que 3 carece de soluciones enteras tales que el producto de x, y y z sea distinto de cero.

Es sabido que Fermat afirm¨® poseer una demostraci¨®n maravillosa de este hecho pero que su longitud la incapacitaba para poder ser escrita en los m¨¢rgenes del libro de: Diofanto.

Desde un principio el ¨²ltimo Teorema de Fermat se convirti¨® en objeto de deseo de los matem¨¢ticos de todas las ¨¦pocas y varias academias cient¨ªficas ofrecieron premios por su soluci¨®n. Parte de la fascinaci¨®n del problema consiste en la sencillez de su enunciado, que ata?e a los n¨²meros enteros 1,2,3... y que puede ser entendido por la generalidad de las personas sin excesivo esfuerzo.

Por otro lado, la ecuaci¨®n de Fermat es una extensi¨®n natural de las ternas pitag¨®ricas, conocidas por los griegos e incluso por los constructores de pir¨¢mides egipcios, es decir, tri¨¢ngulos rect¨¢ngulos cuyos lados tienen longitudes enteras, tales como:

32 +42 = 52,

122 + 52 = 132.........Algunos casos particulares del teorema, por ejempo n=3 o n=4 fueron conocidos enseguida como consecuencia de m¨¦todos m¨¢s o menos ingeniosos inventados por Euler o incluso por Fermat.

La lista de matem¨¢ticos de primera fila que contribuyeron a enriquecer el conocimiento del problema durante los pasados siglos XVIII y XIX es enorme. En el empe?o se descubrieron teor¨ªas maravillosas como la teor¨ªa de ideales de Kummer y se ampli¨® el universo de las matem¨¢ticas.

A veces estos temas encontraban aplicaciones en ¨¢reas aparentemente alejadas del entorno del problema de Fermat que durante estos siglos se ha ido cada vez m¨¢s erigiendo como un desaf¨ªo al ingenio humano: el ¨²ltimo Teorema de Fermat, junto con la hip¨®tesis de Riemann y la conjetura de Poincar¨¦, ha constituido la trilog¨ªa de problemas abiertos m¨¢s famosos de las matem¨¢ticas de estos siglos.

Si se confirma que la demostraci¨®n de Andrew Wiles es correcta, habr¨¢ ca¨ªdo un mito y no cabe duda que una cierta nostalgia recorrer¨¢ el universo de las matem¨¢ticas.

No obstante, no cabe decir que se trata de una sorpresa total. Desde hace unos a?os existe un programa basado en la teor¨ªa de las formas modulares, con influencia de la geometr¨ªa hiperb¨®lica de Poincar¨¦, y elaborado en t¨¦rminos del sofisticado lenguaje de la geometr¨ªa algebraica, que permiti¨® relacionar el ¨²ltimo Teorema de Fermat con otras conjeturas, plausibles y en principio asequibles, de la teor¨ªa de curvas algebraicas y formas modulares.

En particular, la conjetura llamada de Tamiyama-Shimura-Weil que, seg¨²n demostr¨® Kenneth Ribet, implicaba el Teorema de Fermat.

Aunque carezco de informaci¨®n precisa, todo parece indicar que la demostraci¨®n de Andrew Wiles tiene la virtud de completar el rompecabezas elaborado durante estos ¨²ltimos a?os. Wiles es un excelente profesional profesor de la universidad de Princeton (EE UU) y est¨¢ considerado como uno de los mejores artistas de su ¨¢rea. Un compa?ero de Princeton al que telefone¨¦ el jueves por la noche me confirm¨® que, al parecer, Wiles ha mantenido en secreto durante anos la demostraci¨®n, con objeto de poder comprobar, junto a un reducido n¨²mero de expertos, todos los pasos de su orfebrer¨ªa que, seguramente, es muy complicada.

Se debe a la austeridad de la tradici¨®n matem¨¢tica y a la espectacularidad del caso que ¨¦sta sea la manera de proceder. Un matem¨¢tico aprende a exigirse las mayores garant¨ªas antes de publicar un resultado; es quiz¨¢s algo prematuro para lanzar todas las campanas al vuelo pero los nombres que han aparecido involucrados, que conozco personalmente de mis a?os en Princeton, me merecen todas las garant¨ªas.

Como suele resultar en matem¨¢ticas, es muy dif¨ªcil predecir las aplicaciones del resultado y de las t¨¦cnicas de su demostraci¨®n en otras ¨¢reas, pero haberlas las habr¨¢. Mientras tanto, no cabe duda de que una cima de la cultura humana universal ha sido escalada.