As¨ª se solucion¨® el defecto en la demostraci¨®n del teorema de Fermat

El ¨²ltimo teorema de Fermat, que ha fascinado a los matem¨¢ticos durante m¨¢s de 350 a?os, ha sido por fin probado, seg¨²n afirman los que han le¨ªdo la demostraci¨®n revisada, pero todav¨ªa no publicada. Sin embargo, el final de esta b¨²squeda desenfrenada ha resultado estar tan lleno de sorpresas de ¨²ltimo momento como una novela policiaca.

Andrew Wiles, de 41 a?os, de la Universidad de Princeton, autor principal de la demostraci¨®n, tuvo que salvar el triunfo de las garras del desastre. Su primera demostraci¨®n, que atrajo la atenci¨®n en todo el mundo cuando fue anunciada hace casi dos a?os (el 24 de junio de 1993), result¨® contener un hueco, y Wiles vio que era incapaz de cerrarlo por s¨ª solo.

El enorme trofeo intelectual de haber conquistado el problema matem¨¢tico m¨¢s famoso del mundo parec¨ªa estar a punto de escap¨¢rsele de las manos. Si invitaba a un matem¨¢tico famoso para ayudarle a cerrar el hueco correr¨ªa el peligro de tener que compartir el m¨¦rito. Lo que necesitaba, y lo que consigui¨®, era una salvaci¨®n milagrosa con el colaborador adecuado.

Desde el punto de vista matem¨¢tico, el ¨²ltimo teorema de Fermat resulta tener unas ra¨ªces extraordinariamente profundas, a pesar de su aparente sencillez. El teorema es un caso particular de una idea matem¨¢tica global conocida como conjetura de Taniyama, que a su vez es un paso de gigante hacia el objetivo del programa Langlands, una gran teor¨ªa unificada de las matem¨¢ticas.

La conjetura

Probar el teorema de Fermat mostr¨® c¨®mo se podr¨ªa abordar la conjetura de Taniyama, a¨²n m¨¢s inaccesible; ahora, utilizando la demostraci¨®n de Wiles, uno de sus antiguos alumnos, Fred Diamond, de la Universidad de Cambridge (Reino Unido), ya ha realizado avances considerables en la conjetura.El ¨²ltimo teorema de Fermat se remonta a 1637. El matem¨¢tico y f¨ªsico franc¨¦s Pierre de Fermat lo garabate¨® en el margen de un libro, y a?adi¨® que hab¨ªa descubierto una prueba maravillosa, aunque el margen era demasiado estrecho para escribirla. El teorema afirma que las ecuaciones del tipo [x (elevado a) n] + [y (elevado a) n] = [z (elevado a) n] no tienen soluciones cuando n es un n¨²mero entero mayor que 2, y x, y y z son n¨²meros enteros positivos. Cuando n es igual a 2, la f¨®rmula es la conocida ecuaci¨®n pitag¨®rica que afirma que la suma de los cuadrados de los catetos de un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Una soluci¨®n, por ejemplo, es [3 (elevado a) 2] + [4 (elevado a) 2] = [5 (elevado a) 2].

Tras anunciar la soluci¨®n, Wiles, cauteloso y algo nervioso, decidi¨® no dar una gran circulaci¨®n a su manuscrito entre los matem¨¢ticos y esperar a que un selecto grupo de expertos proclamara que el razonamiento era correcto.

"Es un entorno muy competitivo", explica Wiles. Despu¨¦s de trabajar durante siete a?os y llegar tan cerca quer¨ªa que la victoria fuera exclusivamente suya.

Un peque?o problema se convirti¨®, en una crisis. Primero se encontraron varios fallos menores y Wiles los subsan¨®. Pero en el oto?o de 1993, uno de los revisores le pidi¨® que justificara una afirmaci¨®n, situada en mitad de su demostraci¨®n, de que un determinado dato aproximado era correcto.

Despu¨¦s de esforzarse en vano, Wiles decidi¨® aislarse por completo. En el mundo exterior, su secretismo irrit¨® a muchos.

Desgraciadamente, cuenta Wiles, el hueco hab¨ªa surgido precisamente en la parte de la demostraci¨®n donde se mov¨ªa en un terreno menos firme. Hab¨ªa utilizado un m¨¦todo nuevo y potente dise?ado por Matthias Flach, de la Universidad de Princeton. Pero, para Wiles, este m¨¦todo "utilizaba muchos mecanismos complejos y no me sent¨ªa completamente c¨®modo con ¨¦l".

A medida que pasaban los meses, Wiles decidi¨® finalmente que necesitaba ayuda. Sopes¨® cuidadosamente a qui¨¦n le pedir¨ªa unirse a ¨¦l. As¨ª que en diciembre de 1993 llam¨® a Richard Taylor, de 12 a?os, un antiguo alumno y profesor en la Universidad de Cambridge.

Taylor dice que se sinti¨® sorprendido y emocionado. Estaba a punto de disfrutar de un a?o sab¨¢tico, as¨ª que en enero del a?o pasado lleg¨® a Princeton dispuesto a trabajar de forma intensiva en el problema. Aunque Wiles tiene una intuici¨®n "extraordinariamente buena", dice Taylor, "yo soy una persona m¨¢s preocupada por los detalles".

Wiles y Taylor pasaron varios meses tratando de ver si se pod¨ªa lograr que los m¨¦todos de Flach funcionaran. Despu¨¦s, durante el verano, intentaron un planteamiento diferente, m¨¢s indirecto, en opini¨®n de Wiles. Al final, Taylor sugiri¨® que volvieran al m¨¦todo de Flach. "Confieso que entonces pensaba que requerir¨ªa un planteamiento totalmente nuevo que llevar¨ªa varios a?os y exigir¨ªa muchas personas", dice.

"Hab¨ªa una variante en el argumento original que estaba convencido de que no funcionar¨ªa; pero no le hab¨ªa convencido a ¨¦l", recuerda Wiles. "Una ma?ana estaba sentado delante de mi mesa tratando de determinar exactamente por qu¨¦ no funcionaba el m¨¦todo de Flach cuando, de pronto, vi que lo que hac¨ªa que no funcionara era precisamente lo que har¨ªa que funcionase un m¨¦todo que yo hab¨ªa intentado tres a?os antes. Fue totalmente inesperado. No acababa de cre¨¦rmelo". Baj¨® corriendo del ¨¢tico a dec¨ªrselo a su mujer.

Dos semanas y media

Wiles trat¨® de controlar su j¨²bilo, cada vez mayor. "Estaba demasiado nervioso para pensar con claridad", dice. "Consult¨¦ con la almohada", contin¨²a, y a la ma?ana siguiente llam¨® a Taylor, que para entonces hab¨ªa vuelto a Inglaterra. Los dos empezaron a colaborar a toda velocidad y dos semanas y media despu¨¦s hab¨ªan escrito un art¨ªculo -en el que ambos figuran como autores- que cerraba el hueco de la demostraci¨®n.Wiles dice que el avance decisivo consisti¨® en imaginar c¨®mo unir entre si un conjunto infinito de objetos matem¨¢ticos llamados anillos de Hecke. Ahora, los matem¨¢ticos ven a la vista la demostraci¨®n final de la escurridiza conjetura de Taniyama. "Si tuviera que decir un plazo, dir¨ªa que pasaran por lo menos unos meses, y como mucho unos a?os, antes de que se demuestre toda la conjetura", afirma Diamond.

? The New York Times.