Un problema con f¨¢cil soluci¨®n

Para realizar correctamente el sorteo era necesario tomar un n¨²mero entre el 000001 y el 165.342, asignando id¨¦ntica probabilidad a cada uno de ellos. Sin embargo, el sorteo se hizo tomando de un bombo el n¨²mero 0 ¨® 1 con igual probabilidad, escogiendo despu¨¦s, en un segundo bombo, un n¨²mero del 0 al 9, de forma que el primer n¨²mero escogido fue un 1 y el segundo un 8, por lo que se volvi¨® a tomar una bola del segundo bombo, hasta que sali¨® un n¨²mero inferior o igual a seis". El error matem¨¢tico radica en mantener fijo el resultado del primer bombo. Como consecuencia, no se asign¨® la misma probabilidad de salir a todos los n¨²meros entre el 1 y el 165.342. La probabilidad de que tocara el n¨²mero concreto A, situado entre el 1 y el 99.999, era de un medio por 1 dividido 99.999, mientras que la probabilidad de que tocara el n¨²mero concreto B, situado entre el 100.000 y el 165.342, era de un medio por 1 dividido 65.342.Esto trae consecuencias sobre la probabilidad de salir excedente de cupo en el caso particular de cada recluta. Esta probabilidad var¨ªa seg¨²n el n¨²mero asignado al recluta, como se refleja en elgr¨¢fico. Es decir, los reclutas con n¨²mero entre el 16.442 y el 99.999 ten¨ªan una probabilidad de salir excedente de cupo aproximadamente de 0,082, mientras que los situados en el tramo que va de 116.442 a 165.342 ten¨ªan una probabilidad aproximada de 0,1258, cerca del 50% m¨¢s.

Para los reclutas situados entre el 1 y el 16.442, la probabilidad depend¨ªa linealmente del n¨²mero asignado, de manera que el n¨²mero 3 ten¨ªa m¨¢s probabilidades que el 4. Lo mismo ocurr¨ªa con el tramo de 100.000 a 116.342, pero inversamente: el recluta n¨²mero 110.000 ten¨ªa menos probabilidades que el 110.101.

El sorteo estar¨ªa bien hecho si se hubieran tirado los 6 bombos seguidos, repitiendo todo el proceso. de sorteo, incluido el primer bombo, si saliera un n¨²mero superior a 165.342. La probabilidad de tener que repetir una vez el sorteo por esta causa es, relativamente baja, de 0,173.

Si la asignaci¨®n inicial de los n¨²meros a los reclutas fue realmente aleatoria, no se ve la necesidad de un sorteo adicional: bastaba con declarar excedente de cupo a los 16.442 primeros.

Javier Portela es profesor de la Escuela de Estad¨ªstica de la Universidad Complutense de Madrid.