El oro de Fermat

A Andrew Wiles le acaban de conceder el Premio Rey Faisal por su soluci¨®n al problema de Fermat, el descubrimiento matem¨¢tico m¨¢s sonado de los ¨²ltimos tiempos. Los 200.000 d¨®lares con que est¨¢ dotado vienen a compensar en parte la p¨¦rdida de poder adquisitivo del Premio Wolfskehl, establecido en 1908 para tal haza?a, que tambi¨¦n recibi¨® Wiles en junio pasado, aunque reducido por inflaciones y devaluaciones a meros 50.000 d¨®lares, apenas un 3% de su valor original.La matem¨¢tica pura ha avanzado tanto que sus problemas abiertos suelen resultar completamente incomprensibles para todos excepto para el pu?ado de profesionales activamente involucrados en su investigaci¨®n. En la teor¨ªa de n¨²meros, sin embargo, sigue habiendo fascinantes problemas abiertos, para cuya comprensi¨®n basta la aritm¨¦tica elemental, como las conjeturas de Goldbach, la de los n¨²meros perfectos o (hasta hace poco) la de Fermat.

La primera conjetura de Goldbach, propuesta por ¨¦ste a Euler como problema en 1742, dice: todo n¨²mero par n mayor o igual que 4 es igual a la suma de dos n¨²meros primos. En efecto, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, etc¨¦tera. Pero quiz¨¢ haya un n¨²mero par muy grande que no sea igual a la suma de dos primos. Hasta ahora, nadie lo ha encontrado, pero tampoco se ha probado que no exista. Un n¨²mero perfecto es un n¨²mero natural igual a la suma de sus divisores propios (es decir, distintos de ¨¦l mismo). La conjetura sobre los n¨²meros perfectos dice: todo n¨²mero perfecto es par. En efecto, 6 es un n¨²mero perfecto (6 = 1 + 2 + 3) y es par; 28 es un n¨²mero perfecto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) y es tambi¨¦n par. Se ha comprobado que todo n¨²mero perfecto menor que 10/150 es par. Pero quiz¨¢ haya uno mayor que no lo sea. Tampoco esta hip¨®tesis ha logrado ser probada ni refutada. La conjetura (o, ahora ya, el teorema) de Fermat dice: no existen n¨²meros naturales x, y, z > 0 y n > 2, tales que X^n + y^n = Z^n. Para n = 2 s¨ª existen, los triplos pitag¨®ricos, como 3, 4, 5: 3^2 + 4^2 = 5^2 . Pero para n > 2 no se hanencontrado, ni se pueden encontrar, pues no los hay, como ha demostrado Wiles.

El estudio de las curvas el¨ªpticas (descritas por ecuaciones c¨²bicas o de tercer grado) pertenece a la geometr¨ªa algebraica. El de las formas modulares (ciertas funciones de n¨²meros complejos), al an¨¢lisis complejo. A principios de los sesenta, Goro Shimura y Yutaka Taniyama formularon la conjetura que lleva su nombre y que interrelaciona ambas nociones, postulando que a cada curva el¨ªptica corresponde una forma modular con serie L coincidente. Gerhard Frey en 1984 y Kenneth Ribet en 1986 mostraron que esa hip¨®tesis implicar¨ªa la de Fermat. Wiles, fascinado desde peque?o con este famoso enigma, se encerr¨® durante siete a?os de trabajo obsesivo para tratar de probar la conjetura de Shimura-Taniyama (en una versi¨®n restringida), desarrollando para ello diversas t¨¦cnicas novedosas que establecen puentes entre geometr¨ªa algebraica y an¨¢lisis complejo, y cuya utilidad te¨®rica sin duda crecer¨¢ en el futuro. En junio de 1993 anunci¨® que ya ten¨ªa la ansiada prueba, lo que fue noticia de primera plana en los principales diarios. La prueba era tan larga y compleja y abarcaba tantas ramas de la matem¨¢tica que era dif¨ªcil encontrar quien la supervisara. Hubo que nombrar a un comit¨¦ de seis expertos. Uno de ellos descubri¨® un fallo. Wiles tuvo que encerrarse de nuevo (con su disc¨ªpulo Richard Taylor) durante a?o y medio para solucionarlo. Finalmente, los revisores dieron su visto bueno y la prueba de Wiles pudo publicarse en 1995 en Annals of Mathematics, donde ocupa m¨¢s de cien p¨¢ginas.

Aunque cualquiera puede entender la formulaci¨®n del teorema de Fermat, casi nadie (ni siquiera entre los matem¨¢ticos) puede entender su demostraci¨®n. Aceptamos sus resultados, porque nos fiamos de los muy pocos y muy competentes matem¨¢ticos que la han revisado, pero ello no deja de resultar profundamente insatisfactorio. El atractivo de la matem¨¢tica proviene de la gloriosa transparencia de sus pruebas, no del at¨ªpico recurso al argumento de autoridad. Esperemos que esta primera, dif¨ªcil y complicada prueba sea seguida por otras m¨¢s sencillas y asequibles, a fin de que nuestra aceptaci¨®n pueda basarse en evidencias propias.