?Son las matem¨¢ticas una invenci¨®n?

A la cabeza de la lista de los enigmas sin resolver de la ciencia, como qu¨¦ es la conciencia y c¨®mo empez¨® la vida, figura el misterio m¨¢s profundo de todos: ?por qu¨¦ parece seguir el universo leyes matem¨¢ticas? Seg¨²n la teor¨ªa del Bing Bang, la materia, la energ¨ªa, el espacio y el tiempo fueron creados durante la explosi¨®n original. Al parecer, instant¨¢neamente, todo empez¨® a evolucionar seg¨²n un plan matem¨¢tico. Pero, ?de d¨®nde salieron las matem¨¢ticas? ?Cu¨¢les son los or¨ªgenes de los n¨²meros y de las relaciones a las que obedecen?Los seguidores del matem¨¢tico griego Pit¨¢goras dec¨ªan que los n¨²meros eran los elementos b¨¢sicos del universo. Desde entonces, los cient¨ªficos han abrazado una especie de creacionismo matem¨¢tico: Dios es un gran matem¨¢tico que exclam¨®: "?Que se hagan los n¨²meros!", antes de decir, "?que se haga la luz!".

Por lo general, los cient¨ªficos usan el concepto de Dios metaf¨®ricamente. Pero, ¨²ltimamente, la mayor¨ªa de ellos adoptan, al menos t¨¢citamente, la filosof¨ªa de Plat¨®n, que propuso, bastante poco cient¨ªficamente, que los n¨²meros y las leyes matem¨¢ticas eran ideas et¨¦reas que exist¨ªan fuera del espacio y del tiempo en un reino fuera del alcance de la humanidad. Como el fin ¨²ltimo de la ciencia es describir el universo sin invocar lo sobrenatural, el hecho de no conseguir explicar racionalmente la "efectividad irracional de las matem¨¢ticas", como dijo una vez el f¨ªsico Eugene Wigner, es una especie de esc¨¢ndalo, una enorme laguna en el saber de la humanidad.

El matem¨¢tico Reuben Hersh escribe en su libro What Is Mathematics Really? (Oxford University Press, 1997): "Nos negamos a enfrentarnos a este bochorno. Las entidades ideales independientes de la conciencia humana violan el empirismo de la ciencia moderna". Mientras la ciencia permanece anclada en observaciones del mundo f¨ªsico, Hersh insiste en que las matem¨¢ticas son m¨¢s bien una creaci¨®n humana, como la literatura, la religi¨®n o la banca. El libro de Hersh es una de las diversas obras publicadas recientemente en las que se afirma que las matem¨¢ticas no son una esencia et¨¦rea, sino el producto de gente que m¨¢s que descubrirlas, las invent¨®.

Aptitud innata

En The Number Sense: How the Mind Creates Mathematies (Oxford University Press, 1997), Stanislas Dehaene, un especialista en ciencias cognoscitivas re¨²ne pruebas experimentales para demostrar la posibilidad de que el cerebro de los humanos -e incluso el de los chimpanc¨¦s y el de las ratas- est¨¦ equipado al nacer con una aptitud innata activada para las matem¨¢ticas. Gregory J. Chaltin, matem¨¢tico en el Centro de Investigaci¨®n Thomas J. Watson de IBM, adopta una postura antiplat¨®nica en The Limits of Mathematics (Springer, 1997).Dos cient¨ªficos de Berkeley, George Lakoff y Rafael E. N¨²?ez, trabajan en un libro en el que afirman que hasta los conceptos matem¨¢ticos m¨¢s abstractos proceden de las experiencia humana, de la forma en que el cuerpo interact¨²a con el mundo.

Todos estos autores son matem¨¢ticos y cient¨ªficos en activo, no cr¨ªticos posmodernos que contemplan el panorama desde lejos. Rechazan en¨¦rgicamente a quienes intentan tachar las matem¨¢ticas y la ciencia de construcciones arbitrarias o de folclor propio de hombres blancos europeos. Pero rechazan igual de categ¨®ricamente lo que la mayor¨ªa de los matem¨¢ticos y muchos cient¨ªficos han llegado a dar por hecho: el credo plat¨®nico.

Chaltin escribi¨®: "El concepto normal de matem¨¢ticas puras es que las matem¨¢ticas tienen una especie de conexi¨®n directa con las ideas de Dios, con la verdad absoluta". Mientras que el conocimiento cient¨ªfico est¨¢ sujeto a una revisi¨®n constante, las matem¨¢ticas se consideran habitualmente como eternas. Chaltin pidi¨® a sus colegas que adoptasen un planteamiento "casi emp¨ªrico" que trata las matem¨¢ticas como una compleja ciencia experimental m¨¢s. Seg¨²n ¨¦l, "casi emp¨ªrico significa que las matem¨¢ticas no son tan diferentes de la f¨ªsica".

Leopold Kronecker, un matem¨¢tico del siglo XIX, dijo: "Los (n¨²meros) enteros fueron creados por Dios: todo lo dem¨¢s es obra del ser humano". Albert Einstein, que adopt¨® una postura diferente acerca de los n¨²meros enteros, escribi¨® que "la serie de enteros es evidentemente un invento de la mente humana, una herramienta de creaci¨®n propia que simplifica el orden de determinadas experiencias sensoriales".

En The Number Sense, Dehaene lleg¨® a¨²n m¨¢s lejos. Los enteros -en cualquier caso los m¨¢s peque?os- est¨¢n estrechamente conectados con los sistemas nerviosos por la evoluci¨®n, junto con una habilidad rudimentaria para sumar y restar. Las matem¨¢ticas, en su opini¨®n, est¨¢n "grabadas en la estructura misma de nuestro cerebro". "Como vivimos en un mundo lleno de objetos diferenciados y m¨®viles, nos resulta muy ¨²til poder extraer los n¨²meros", afirm¨® Dehaene hace poco en un foro publicado en Internet (http://www.edge.org) por Edge Foundation. "Esto puede ayudarnos a seguir la pista de los depredadores o a seleccionar los mejores terrenos para rastrear, por mencionar s¨®lo unos ejemplos muy evidentes".

Al estudiar el cerebro da?ado de pacientes que han perdido su capacidad num¨¦rica b¨¢sica, Dehaene y otros colaboradores han examinado este m¨®dulo aritm¨¦tico hasta un ¨¢rea del cerebro llamada corteza parietal inferior, un punto poco conocido en el que convergen las se?ales visuales, auditivas y t¨¢ctiles. A los cient¨ªficos les intrigan unos indicios de que esta regi¨®n tambi¨¦n est¨¢ implicada en el procesamiento del lenguaje y en la distinci¨®n entre derecha e izquierda. Al fin y al cabo, las matem¨¢ticas son una especie de lenguaje ¨ªntimamente ligado al uso de los n¨²meros para ordenar el espacio. La corteza parietal inferior tambi¨¦n parece importante para la destreza manual y la aritm¨¦tica empieza cuando aprendemos a contar con las manos. Los experimentos con im¨¢genes en los que el cerebro de la gente es controlado mientras calcula se?alan a esa misma regi¨®n como primitivo procesador de n¨²meros.

Si esta calculadora neurol¨®gica nos ha sido efectivamente legada por la evoluci¨®n, deber¨ªamos encontrar rastros de ella en otras especies. Para hacer esta afirmaci¨®n, Dehaene se basa en unos experimentos realizados en las ¨²ltimas d¨¦cadas que indican que incluso las ratas tienen un sentido rudimentario del c¨¢lculo. Se ense?¨® a los animales a apretar una palanca A cuatro veces y despu¨¦s una palanca B para conseguir comida, o a apretar la palanca A cuando oyesen una secuencia de dos tonos y la palanca B cuando oyesen una secuencia de ocho tonos.

A¨²n m¨¢s sorprendente fueron experimentos posteriores en los que primero se entren¨® a las ratas para que asociasen la palanca A con dos tonos y la palanca B con cuatro tonos. A continuaci¨®n, se les ense?¨® a asociar la palanca A con dos fogonazos de luz y la B con cuatro fogonazos. Cuando las ratas o¨ªan dos tonos y ve¨ªan dos fogonazos, aprend¨ªan a apretar B, en vez de A. Parec¨ªan haber comprendido la idea de que dos m¨¢s dos es igual a cuatro.

Las ratas no eran precisas. Cuando se les entrenaba para que apretasen una palanca cuatro veces, a menudo la apretaban cinco o seis veces, y esperaban la misma recompensa, o confund¨ªan una secuencia de siete tonos con otra de ocho tonos. Pero los experimentos apoyaron la idea de un procesador num¨¦rico neurol¨®gico primitivo, incluso en los roedores.

Creaciones neurol¨®gicas

En otros experimentos, los chimpances parec¨ªan aprender aritm¨¦tica sencilla. Cuando se les ofrec¨ªa la opci¨®n entre una bandeja con un montoncito de tres trozos de chocolate y otro mont¨®n de cuatro y una segunda bandeja con montoncitos de dos y tres trozos, eleg¨ªan la primera bandeja en la que hab¨ªa m¨¢s dulces. Pero cuando la diferencia en el total de chocolate de las bandejas era un solo trozo, era menos probable que los chimpanc¨¦s se percatasen de la diferencia. El sentido num¨¦rico es aproximado, no exacto. Experimentos m¨¢s recientes con ni?os, utilizando juguetes, mostraron indicios de la misma clase de capacidad num¨¦rica b¨¢sica en beb¨¦s de menos de cinco meses de edad.Dehaene dice que este instinto es innato, como cantar en los p¨¢jaros cantores o tejer la tela en el caso de las ara?as. Los n¨²meros no son ideales plat¨®nicos, sino creaciones neurol¨®gicas, herramientas que el cerebro utiliza para analizar el mundo. En ese sentido, son como los colores. Las manzanas rojas no son intr¨ªnsecamente rojas. Reflejan la luz en longitudes de onda que el cerebro, gracias a las conexiones proporcionadas por la evoluci¨®n, interpreta como rojas.

Dehaene afirma que, aunque la gente nace con un conocimiento de las bases de la aritm¨¦tica, para desarrollarlo hacen falta aprendizaje y creatividad. La multiplicaci¨®n, la divisi¨®n y toda la superestructura de las matem¨¢ticas superiores -desde el ¨¢lgebra y la trigonometr¨ªa, hasta el c¨¢lculo, la geometr¨ªa fractal y cosas a¨²n m¨¢s complejas- son una bonita improvisaci¨®n, la obra de la cultura humana.

Este cient¨ªfico sugiere que la capacidad para entretejer ideas sencillas, como dos m¨¢s dos igual a cuatro, en los tejidos de las matem¨¢ticas superiores no se diferencia de la capacidad humana para el lenguaje. La gente escoge una colecci¨®n relativamente peque?a de palabras y, con unas cuantas reglas sencillas de gram¨¢ticay sintaxis, crea literatura.

En la Universidad de California en Berkeley, los cient¨ªficos Lakoff y N¨²?ez afirman que la fuente de las matem¨¢ticas est¨¢ no s¨®lo en el cerebro sino tambi¨¦n en el cuerpo humano y en el mundo f¨ªsico.

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La gente prefiere los sistemas num¨¦ricos basados en el 10 porque tiene 10 dedos en manos y pies.

Seg¨²n esta teor¨ªa, llevados por un sentido num¨¦rico innato, los humanos primitivos exploraron las maravillas del c¨¢lculo jugando con sus dedos o poniendo piedras en un mont¨®n. Pero descubrieron que contar tambi¨¦n pod¨ªa servir para dar pasos en una l¨ªnea y medir la distancia. Esto permiti¨® con el tiempo el invento de conceptos m¨¢s abstractos. Si se camina en un sentido se consiguen los enteros positivos, si se camina en sentido contrario se obtienen los enteros negativos. El punto de partida es cero.

La secuencia de n¨²meros se puede seguir hasta el concepto de l¨ªnea. Entonces, los n¨²meros no son dedos ni piedras, sino puntos. Si se ponen dos l¨ªneas juntas en los ¨¢ngulos adecuados se obtiene un plano cartesiano. Piso por piso, se va construyendo la torre de las matem¨¢ticas. Lakoff dijo hace poco: "Los estudiantes nunca entienden que las matem¨¢ticas son un esfuerzo creativo, son m¨¢s gloriosas porque son una construcci¨®n de la humanidad". La matem¨¢tica pura o el pensamiento puro no existen, son actividades f¨ªsicas.

Incluso las elaboraciones m¨¢s complejas de los matem¨¢ticos son contrastadas con el universo. De la infinita gama de creaciones matem¨¢ticas, los cient¨ªficos conservan aquellas que les ayudan a explicar y predecir la realidad. Los matem¨¢ticos se recrean en las dem¨¢s como fines en s¨ª mismas, como los cuadros o las sinfon¨ªas.

Pero muchos cient¨ªficos y matem¨¢ticos siguen dudando que la evoluci¨®n -biol¨®gica o cultural- pueda explicar adecuadamente por qu¨¦ las matem¨¦ticas son tan ¨²tiles para describir las leyes fundamentales del universo. Paul Davies (Universidad de Adelaida, Australia) afirma: "Nuestra capacidad para descubrir y describir matem¨¢ticamente las ecuaciones de Newton no tienen un valor de supervivencia inmediato. Esta idea es a¨²n m¨¢s patente, por ejemplo, en el caso de la mec¨¢nica cu¨¢ntica. La raz¨®n por la que a la gente le cuesta entender la f¨ªsica cu¨¢ntica es precisamente porque entenderla no tiene ning¨²n valor de cara a la supervivencia". Seg¨²n ¨¦l, la raz¨®n por la que las matem¨¢ticas son tan eficaces sigue siendo un profundo misterio.

Algunos albergan esperanzas de que el misterio se podr¨ªa resolver si los humanos se encontrasen con una civilizaci¨®n extraterrestre. Si las matem¨¢ticas son en efecto universales y eternas, los extraterrestres conocer¨ªan conceptos como pi, la relaci¨®n entre la circunferencia de un c¨ªrculo y su di¨¢metro. Los platonistas afirman que hay un "pi en el cielo" (Pi in the sky), como dijo John D. Barrow en un libro con tal t¨ªtulo (Oxford University Press, 1992).

Los antiplatonistas afirman que no hay raz¨®n para creer que los extraterrestres pudieran conocer inventos matem¨¢ticos de la Tierra. "La afirmaci¨®n plat¨®nica de que toda inteligencia debe producir n¨²meros primos, pi y la hip¨®tesis del continuo es un ejemplo de simple antropomorfismo", opina Hersh. Pero si los terr¨ªcolas se quedasen perplejos ante las matem¨¢ticas extraterrestres, ?habr¨ªan demostrado su postura los antiplatonistas? No necesariamente. Davies dice: "La inteligencia extraterrestre puede ser tan avanzada que sus matem¨¢ticas nos resulten demasiado dif¨ªciles de comprender. El c¨¢lculo habr¨ªa dejado at¨®nito a Pit¨¢goras pero habr¨ªa acabado acept¨¢ndolo".

?Qu¨¦ pasar¨ªa si humanos y extraterrestres se pudieran comunicar matem¨¢ticamente? "Si las especies extraterrestres hubieran evolucionado en un ambiente similar al nuestro -por ejemplo, en un mundo compuesto de objetos distintos y m¨®viles- lo m¨¢s probable es que hubieran incorporado, por selecci¨®n natural, las mismas regularidades sobre el mundo exterior que nosotros y tendr¨ªan una aritm¨¦tica y una geometr¨ªa muy parecidas", dice Dehaene.

"Pero supongamos que las especies extraterrrestres hubieran evolucionado en un ambiente radicalmente diferente, por ejemplo, en un mundo fluido", continua. "En ese caso, el conocimiento de los objetos m¨®viles no ser¨ªa esencial para su supervivencia, mientras que el conocimiento de la mec¨¢nica de fluidos, los v¨®rtices, etc¨¦tera, s¨ª lo ser¨ªan. Creo que esta hipot¨¦tica especie habr¨ªa asimilado en su cerebro regularidades asombrosamente diferentes de las nuestras. Por lo tanto, tendr¨ªa unas matem¨¢ticas totalmente diferentes". Y el debate sigue en pie.

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