La demostraci¨®n de la conjetura de Kepler

A nnals of Mathematics, posiblemente la mejor revista matem¨¢tica del mundo, ha publicado el pasado noviembre la demostraci¨®n obtenida por Thomas Hales de una famosa conjetura formulada por Kepler hace cuatro siglos. Que el autor del problema sea un afamado cient¨ªfico y que haya transcurrido tanto tiempo en resolverse lo asemeja al ?ltimo Teorema de Fermat, con el que tambi¨¦n comparte la sencillez de su enunciado; el tener una historia rica en resultados parciales, incluyendo varias demostraciones falsas o incompletas; el que Hales, como hiciera Wiles en el caso del Fermat, haya dedicado m¨¢s de seis a?os a perfilar la soluci¨®n y, adem¨¢s, el haber sido publicadas ambas demostraciones en los Annals.

El desaf¨ªo involucra todas las maneras posibles de disponer bolas en el espacio

?Estamos en el umbral de una nueva era en la que las m¨¢quinas probar¨¢n los teoremas?

?Cu¨¢l es la manera m¨¢s eficiente de empaquetar esferas del mismo tama?o? En esta pregunta, enga?osamente sencilla, radica el enigma propuesto por Kepler. Es claro que al disponer bolas en el espacio quedar¨¢n siempre intersticios y un empaquetamiento denso minimizar¨¢ el volumen que resta fuera de ellas. Un ejemplo notable se construye disponi¨¦ndolas inicialmente sobre un plano, tangentes entre s¨ª y formando hileras intercaladas, que crean una densa capa sobre la que podemos apilar las nuevas esferas coloc¨¢ndolas entre cada tres tangentes de la formaci¨®n inicial. Iterando con cuidado este procedimiento, arriba y abajo de la primera capa, obtendremos un empaquetamiento peri¨®dico que, en cristalograf¨ªa, recibe el nombre de red c¨²bica centrada y que aparece ilustrado en la manera habitual como disponen los fruteros la oferta de manzanas y naranjas. Es f¨¢cil calcular su densidad (0.74...), que Thomas Hales ha demostrado ser insuperable: no importa c¨®mo llenemos el espacio con esferas, la densidad ser¨¢ siempre menor o igual que la alcanzada por la red c¨²bica centrada.

El problema fue sugerido a Kepler por un marino que deseaba estimar el n¨²mero de balas de ca?¨®n que almacenaban los buques enemigos en su cubierta. Pero en 1611 no pod¨ªan imaginar que el dise?o de buenos empaquetamientos haya resultado ser ahora tan relevante en la tecnolog¨ªa de la informaci¨®n, tanto para enviar se?ales por un canal ruidoso sin perder calidad, como en los c¨®digos que nos garantizan la fidelidad del sonido de un disco compacto.

Nosotros podemos bromear tambi¨¦n con la perspicacia de los fruteros, pero ello nos distraer¨ªa de la cuesti¨®n importante, es decir, del gran desaf¨ªo a la mente humana que planteaba la conjetura, a la que hab¨ªa que atacar porque estaba ah¨ª, como dijo E. Hillary sobre la escalada del Everest. El desaf¨ªo es tremendo, casi de v¨¦rtigo, pues involucra todas las maneras posibles de disponer bolas en el espacio: ?c¨®mo empezar siquiera semejante tarea?

Si se tratara s¨®lo del caso peri¨®dico, entonces la escalada es m¨¢s f¨¢cil y el gran Gauss, a mediados del siglo XIX, ya pudo realizarla. Tambi¨¦n podemos rebajar la dimensi¨®n y hacernos la pregunta an¨¢loga para c¨ªrculos del plano: en torno a 1960, el matem¨¢tico h¨²ngaro Fejes Toth encontr¨® la respuesta correcta, que result¨® ser la versi¨®n bidimensional de la red c¨²bica centrada. Pero en tres dimensiones es mucho m¨¢s dif¨ªcil: en un empaquetamiento, cada esfera tiene asociada una celda de influencia, formada por los puntos del espacio que est¨¢n m¨¢s cerca de su centro que de los de las restantes esferas. El cociente entre el volumen de la esfera y el de su celda de influencia es la densidad local del empaquetamiento. Resulta que, en dimensi¨®n dos, las celdas de mayor densidad local son hex¨¢gonos, con los que se puede teselar el plano. En el espacio las celdas de la red c¨²bica centrada son dodecaedros r¨®mbicos. La celda local m¨¢s densa, sin embargo, es el dodecaedro regular, pero con ella, como bien saben los cristal¨®grafos, no se puede teselar el espacio. Esta discrepancia entre la soluci¨®n ¨®ptima local y la global es una de las razones por las que el problema de Kepler ha resultado tan dif¨ªcil.

El art¨ªculo de Hales consta de unas 120 p¨¢ginas de matem¨¢ticas convencionales. Pero depende de un programa inform¨¢tico que analiza cerca de 5.000 casos residuales, para los que hay que optimizar funciones de m¨¢s de 200 variables. Despu¨¦s de varios a?os de trabajo la comisi¨®n de expertos a quienes Annals encarg¨® la revisi¨®n del art¨ªculo ha tirado la toalla, sinti¨¦ndose incapaz de escudri?ar todos los detalles en un tiempo razonable; tarea que han comparado con la de cotejar, uno por uno, la veracidad de todos los datos del list¨ªn telef¨®nico de Nueva York. Empero, el comit¨¦ ha llevado a cabo el n¨²mero adecuado de comprobaciones para poder sostener su fe en la correcci¨®n de la prueba con, seg¨²n dicen, un 99% de probabilidad. Pero, ?es eso suficiente?

Una demostraci¨®n matem¨¢tica es una cadena de razonamientos, a veces muy larga, que nos llevan desde una hip¨®tesis de partida hasta una tesis de llegada y que es susceptible de ser engarzada por todo aquel que posea el tiempo y el entrenamiento adecuados. Pero ¨¦ste no es el caso de la prueba de Hales. El dilema de Annals es tremendo y su soluci¨®n ecl¨¦ctica quiz¨¢s no satisfaga a muchos: publica la parte que se ajusta al arquetipo tradicional, pero a?ade un comentario editorial advirtiendo de que la prueba depende de un programa que aparecer¨¢ en otra revista especializada en computaci¨®n. Los editores se?alan que estamos ante un caso de aproximaci¨®n de las matem¨¢ticas a la pr¨¢ctica de las ciencias experimentales, por cuanto la verificaci¨®n de la parte inform¨¢tica hay que hacerla con los criterios con los que se valida un experimento, pero no con los tradicionales de las matem¨¢ticas.

Annals es una centenaria revista bimensual editada en Princeton (EE UU) conjuntamente por la Universidad y el Instituto de Estudio Avanzado. Los requisitos para aparecer en sus p¨¢ginas son muy estrictos: ha de tratarse de un resultado relevante demostrado con t¨¦cnicas originales. No es de extra?ar que publicar en Annals sea objeto del deseo para los matem¨¢ticos y que traten de lograrlo con sus resultados mejores.

La demora entre la llegada y la publicaci¨®n de un art¨ªculo oscila en torno a los dos a?os, pero ¨¦se es un dato que Annals comparte con otras revistas, que no son ya tanto un instrumento de comunicaci¨®n, puesto que los resultados circulan antes por la red, sino una garant¨ªa de calidad. ?sa es ahora la principal raz¨®n de ser de las mejores revistas. Pero ¨¦stas son una minor¨ªa; la mayor¨ªa tienen criterios mucho m¨¢s relajados: tanto, que sus publicaciones son con bastante frecuencia un mero y prescindible ruido.

A diferencia de la demostraci¨®n del Teorema de Fermat, que ha requerido el fecundo ingenio matem¨¢tico contempor¨¢neo, creo que la prueba de la conjetura de Kepler, sin desmerecer con ello el trabajo de Hales, hubiera podido llevarse a cabo hace siglos de haber contado con los medios de c¨¢lculo que tenemos ahora a nuestro alcance. ?Significa esta demostraci¨®n que estamos en el umbral de una nueva era en la que las m¨¢quinas se encargar¨¢n de probar los teoremas? ?Son los matem¨¢ticos una especie en extinci¨®n?

Sinceramente creo que la respuesta es un rotundo no, aunque sea un lugar com¨²n afirmar que el ordenador es un instrumento valios¨ªsimo, una ayuda casi imprescindible, en la investigaci¨®n actual. Pero es posible, y yo dir¨ªa que muy deseable, que las m¨¢quinas se encarguen en el futuro de tantos desarrollos rutinarios y tantas demostraciones cl¨®nicas que mantienen ocupados a demasiados matem¨¢ticos quienes, incansables, publican obviedad tras obviedad. Llenando sin cesar, con mutuas referencias, el registro de esa grotesca casa de citas que tiene su sede en Filadelfia. Liberados por las m¨¢quinas, podr¨ªan estos artistas, siguiendo el buen ejemplo de Wiles y Hales, dedicar sus esfuerzos a resolver problemas realmente dif¨ªciles e interesantes que tengan luego cabida en Annals of Mathematics.

Antonio C¨®rdoba Barba es catedr¨¢tico de An¨¢lisis Matem¨¢tico (Universidad Aut¨®noma de Madrid)