N¨²meros de buena familia

Cuento ovejas, pero no es insomnio. Acabo de sentarme a la mesa con mi amigo Claudi Alsina, matem¨¢tico. La conversaci¨®n arranca con un crianza y unas picard¨ªas, aceitunas y l¨¢minas de alcachofa.

Acto primero. El pastor conoce a todas sus ovejas desde el d¨ªa en que nacieron y ahora, a la hora de la revista, las reconoce por su aspecto, andares y gestos. Una por una. ?C¨®mo saber si no cu¨¢ntas se come el lobo? Identificar y recordar. Pero la vida sigue y el reba?o ha crecido demasiado. Imposible identificar y recordar ?Hay que contar! Sea la familia de los n¨²meros naturales. Los naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres...

Acto segundo. Pero la vida sigue y los n¨²meros naturales no bastan cuando, por ejemplo, se necesita contar desde una referencia. Es cuando interesa marcar un punto del espacio o un instante del tiempo, el kil¨®metro de un camino o el a?o en el que vivimos. Contar y ordenar ya no es suficiente. Hay que pactar desde donde y desde cuando se cuenta ?Sea el n¨²mero cero! Nuestro calendario, por cierto, no tiene a?o cero y de ah¨ª la monumental confusi¨®n que se organiza cada vez que cambiamos de siglo o de milenio (el ¨²ltimo milenio cambi¨® la noche del 31 de diciembre de 2000 al 1 de enero de 2001, justo un a?o despu¨¦s de la inmensa mayor¨ªa de las fiestas que en el planeta celebraban su llegada). Sea la familia de los n¨²meros cardinales, los naturales m¨¢s el cero. Los cardinales cuentan y ordenan a un lado de una referencia: cero, uno, dos, tres

Un n¨²mero real sit¨²a un punto sobre una l¨ªnea, pero no puede escapar de ella

Acto tercero. Pero la vida sigue y los n¨²meros cardinales no bastan cuando, por ejemplo, se necesita contar a ambos lados de una referencia. El ascensor tiene su referencia en la planta baja (que es por donde los ciudadanos acceden al edificio). ?C¨®mo dar cuenta de los niveles subterr¨¢neos? ?C¨®mo dar cuenta de las temperaturas por debajo de cero grados? ?C¨®mo contar cuando debemos m¨¢s de lo que tenemos? ?La historia no empieza donde empieza a contar nuestro calendario! ?Hay que contar al otro lado de la referencia! Sea la familia de los n¨²meros enteros, los cardinales m¨¢s los naturales negativos. Los enteros cuentan y ordenan a ambos lados de una referencia: ...menos tres, menos dos, menos uno, cero, uno, dos, tres...

Acto cuarto. Pero la vida sigue y los n¨²meros enteros no bastan cuando, por ejemplo, se trata de repartir. Un reparto, expresado con un n¨²mero entero, puede ser injusto. ?C¨®mo repartir dos ovejas entre tres beneficiarios? Los enteros tampoco dan la talla a la hora medir. Para medir se necesita comparar un trozo de realidad con una unidad patr¨®n (un metro, un segundo, un kilo)... Y pocas veces, en rigor nunca, la medida coincide con un n¨²mero entero de tales unidades. ?C¨®mo repartir regulando excesos y defectos? ?C¨®mo medir con la finura deseada? Entre dos enteros consecutivos caben infinitos n¨²meros. Pero son n¨²meros de otra familia, cada uno de los cuales se puede representar, a su vez, como un par ordenado de n¨²meros enteros (su cociente). Sea la familia de los n¨²meros racionales. Los n¨²meros racionales reparten y comparan: un medio, un tercio, un cuarto, ..., dos tercios...

Acto quinto. Pero la vida sigue y los n¨²meros racionales no bastan cuando, por ejemplo, se necesita calcular el lado de un cuadrado a partir de su superficie o la superficie de un c¨ªrculo a partir de su radio. La ra¨ªz cuadrada de un n¨²mero racional no tiene por qu¨¦ ser otro n¨²mero racional. La superficie de una esfera de radio uno es un n¨²mero que no pertenece a la familia de los racionales. Es cuatro veces pi, un n¨²mero que no se puede expresar como el cociente de dos enteros, sino con la suma de infinitos n¨²meros cada vez m¨¢s peque?os. Sea la familia de los n¨²meros reales. Los n¨²meros reales calculan: es la ra¨ªz cuadrada de dos, el n¨²mero pi o la proporci¨®n ¨¢urea entre dos segmentos...

Acto sexto. Pero la vida sigue y los n¨²meros reales no bastan cuando, por ejemplo, se trata de buscar un n¨²mero real que multiplicado por s¨ª mismo sea igual a un n¨²mero negativo. Adem¨¢s, un n¨²mero real sit¨²a un punto sobre una l¨ªnea, s¨ª, pero no puede escapar de ella. Para situar un punto sobre una superficie no basta un n¨²mero real ?se necesitan dos! Sea la familia de los n¨²meros complejos, donde un n¨²mero complejo es un par ordenado de n¨²meros reales. Es el caso del par de n¨²meros formado por el cero y el uno, la unidad imaginaria, el n¨²mero i, la ra¨ªz cuadrada de menos uno. Una ecuaci¨®n de segundo grado puede no tener soluciones reales pero siempre tiene soluciones complejas. Los n¨²meros complejos resuelven.

La tarde se nos echa encima y no hay tiempo para postres. Resumimos las conclusiones entre sorbos de un excelente caf¨¦ amargo.

Los naturales cuentan, los enteros sit¨²an, los racionales miden, los reales calculan, los complejos resuelven...

La familia de los naturales est¨¢ dentro de la de los cardinales que est¨¢ dentro de la de los enteros que est¨¢ dentro de la de los racionales que est¨¢ dentro de la de los reales que est¨¢ dentro de la de los complejos... Nos despedimos: s¨ª, detr¨¢s de cada buena familia de n¨²meros hay una buena intuici¨®n cient¨ªfica, un buen uso para la vida de cada d¨ªa y, sobre todo, una buena conversaci¨®n.