Cien a?os incompletos

Una de las mayores figuras de la L¨®gica del siglo XX nos recorre con su mirada. Kurt G?del, matem¨¢tico y l¨®gico nacido en 1906 en Brno, actual Rep¨²blica Checa, vivi¨® y se educ¨® en el excitante ambiente de la Viena de entreguerras. Como tantos cerebros, tuvo que huir de Europa tras el ascenso del nazismo, finalizando su recorrido en el Instituto de Estudios Avanzados, en Princeton (EE UU). All¨ª coincide con otros refugiados ilustres como el ya famoso Albert Einstein, con quien trabar¨ªa una ¨ªntima amistad. Su vida, al igual que su obra -siempre en forma de art¨ªculos- representa el desesperado intento de sobrevivir de la raz¨®n cr¨ªtica e ilustrada europea en la ¨¦poca que habr¨ªa de suponer el fin de la modernidad.

La obra de este peculiar genio se refiere en su pr¨¢ctica totalidad a lo que conocemos como L¨®gica matem¨¢tica; se le reconoce ser el ¨²nico personaje capaz de sostener la mirada del otro gran l¨®gico de la historia, Arist¨®teles. Su logro m¨¢s notable, los teoremas de incompletitud para aritm¨¦tica elemental, hay que entenderlo dentro de un objetivo recurrente en su ¨¦poca: el logro de formas ¨®ptimas de expresi¨®n del conocimiento. Nuestras teor¨ªas tienen que poderse formular sin ambig¨¹edad alguna, siendo conveniente contar con mecanismos que analicen de forma sistem¨¢tica cualquier asunto de su incumbencia. Este ideal conocido como m¨¦todo axiom¨¢tico exig¨ªa que una teor¨ªa cient¨ªfica madura, debiera poderse reducir a una serie b¨¢sica y finita de enunciados: sus axiomas. Este objetivo, otra met¨¢fora del exceso de la raz¨®n moderna, fue desarrollado por el matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert bajo el nombre de Programa Formalista. Una teor¨ªa axiom¨¢tica adquir¨ªa entonces compromisos mucho m¨¢s estrictos que los que se le pueden exigir a una teor¨ªa informal. El primero y principal es el de la consistencia. Por consistencia entendemos aquella propiedad que tienen las teor¨ªas que de ellas no surja contradicci¨®n; dicho de otro modo, que de ellas no sea posible obtener una afirmaci¨®n y su contraria.

Tal demostraci¨®n de consistencia para la aritm¨¦tica elemental, se convirti¨® en el primer tercio de siglo, en clave de b¨®veda de todo el sue?o formalista. Y con ello de uno de los proyectos intelectuales m¨¢s ambiciosos de todos los tiempos: la sistematizaci¨®n de grandes porciones del conocimiento humano.

Este sue?o es el que G?del se encarg¨® de demoler. Pero, sorprendentemente, no demostrando la inconsistencia de la aritm¨¦tica, sino algo bastante m¨¢s enigm¨¢tico. Su primer teorema dice que si la aritm¨¦tica es consistente, entonces existen f¨®rmulas aritm¨¦ticas que no se pueden demostrar como pertenecientes a ella o no. Su segundo teorema de incompletitud afirma que si nuevamente la aritm¨¦tica es consistente, entonces no hay modo de establecer esta consistencia dentro de los l¨ªmites de la propia aritm¨¦tica. Y tampoco se puede lograr este objetivo recurriendo a teor¨ªas de mayor potencia.

La limitaci¨®n descrita es, lo sabemos hoy, esencial al propio conocimiento formal del ser humano. Pero alcanzar un resultado de tan extra?a apariencia supuso ingeniar el mecanismo originario de la Teor¨ªa de la Computaci¨®n. Este procedimiento sistematiz¨® la traducci¨®n de cualquier expresi¨®n de un lenguaje formalizado -la aritm¨¦tica o los lenguajes de programaci¨®n- a n¨²meros. Al mostrar que para ello s¨®lo se precisaba aritm¨¦tica elemental, G?del obtuvo una consecuencia inesperada y parad¨®jica. Si un enunciado sobre la aritm¨¦tica puede ser reducido a n¨²meros, y los enunciados de la aritm¨¦tica hablan propiamente de estos, la aritm¨¦tica es capaz de hablar sobre s¨ª misma. Este fen¨®meno, conocido como autorreferencia, y normal en los medios de expresi¨®n que usamos para comunicarnos, no era esperado en los dominios de la aritm¨¦tica escolar. G?del mostr¨® que la autorreferencia es una consecuencia de la capacidad expresiva de un lenguaje y que la aritm¨¦tica elemental marca un hito en complejidad. Es la teor¨ªa m¨¢s simple en la que este fen¨®meno aparece. De ese modo algunas de las cosas que intuimos como verdaderas no pueden ser establecidas como tales. Y con esto, parec¨ªa que temblase el ideal cient¨ªfico occidental al completo.

Su propia muerte, en 1978 tras negarse a ingerir alimento durante meses, parece una met¨¢fora de lo que la asfixia, la sospecha y la desesperanza supusieron para toda una generaci¨®n de pensadores de este siglo. Nuestra raz¨®n desde ¨¦l, ya no puede ser la misma.

Enrique Alonso es profesor de L¨®gica y Javier Taravilla, investigador de doctorado, ambos en la Universidad Aut¨®noma de Madrid.