La variedad (y encanto) de las matem¨¢ticas

Aunque para algunos las matem¨¢ticas est¨¢n asociadas a los momentos m¨¢s terribles de sus etapas escolares, para otros muchos esta disciplina significa una pasi¨®n intelectual, de m¨²ltiples vertientes y aplicaciones. Cuatro libros distintos han aparecido recientemente sobre una ciencia que ha sido ideada por el hombre pero que al mismo tiempo da la sensaci¨®n de que goza de vida propia, de que est¨¢ ah¨ª al margen de la voluntad de sus inventores.

Algunos -seguramente muchos- disentir¨¢n, pero yo opino que las matem¨¢ticas figuran entre las "invenciones" (?) m¨¢s hermosas, misteriosas y fundamentales de los humanos. Y si he a?adido una interrogaci¨®n entre par¨¦ntesis despu¨¦s de escribir "invenciones", es porque no estoy seguro de que ¨¦ste sea un t¨¦rmino adecuado. En muchos sentidos las inventamos, es verdad, pero cuando uno se sumerge en ellas parece como si tuviesen vida propia, como si "estuviesen ah¨ª" independientemente de que unos seres cuya composici¨®n molecular les ha dotado de una serie de habilidades sean capaces de relacionarse con ellas. Gozan, adem¨¢s, de una realidad especial. Parece que el mundo, el universo, es matem¨¢tico, entendiendo por tal afirmaci¨®n que las leyes que rigen los fen¨®menos naturales se codifican en t¨¦rminos matem¨¢ticos; esto es, que obedecen a ecuaciones matem¨¢ticas.

Pero hay m¨¢s, mucho m¨¢s. Los sistemas matem¨¢ticos tienen otro tipo de existencia y realidad, una que surge de su pertenencia a sistemas gobernados por reglas determinadas, y que no tiene nada que ver con el mundo de los denominados fen¨®menos "naturales". Una cosa es "lo matem¨¢ticamente posible" y otra "lo f¨ªsicamente posible", aunque con frecuencia surgen sorpresas. As¨ª, los matem¨¢ticos descubren a veces que algunas de sus construcciones, que han nacido de sus propios "juegos mentales", hallan eco, se plasman, en objetos que nos resultan familiares: tonos y armon¨ªas musicales; geometr¨ªas de, por ejemplo, caparazones de algunos animales o de la distribuci¨®n de hojas en plantas; perfiles de costas; relaciones entre di¨¢metros y per¨ªmetros de circunferencias; regularidades estad¨ªsticas; proporciones en edificios; o din¨¢micas meteorol¨®gicas. Otras veces, cierto es, ha sido al rev¨¦s: un factor que influy¨® mucho en que Isaac Newton inventase, hacia 1666, el c¨¢lculo diferencial (c¨¢lculo de fluxiones en su terminolog¨ªa) fue su inter¨¦s en la mec¨¢nica, la rama de la f¨ªsica que se ocupa del estudio de los movimientos.

Los libros objeto de la presente rese?a exploran varios apartados de ese fascinante mundo que es la matem¨¢tica. Y, al igual que ¨¦sta, cubren un amplio espectro.

Dios cre¨® los n¨²meros re¨²

ne un amplio conjunto de textos matem¨¢ticos fundamentales (generalmente resumidos), la mayor parte de ellos de car¨¢cter t¨¦cnico, seleccionados y presentados por el c¨¦lebre f¨ªsico Stephen Hawking, que ya efectu¨® una tarea similar en el caso de la f¨ªsica y la astronom¨ªa en A hombros de gigantes (Cr¨ªtica, 2003). Su contenido es ciertamente impresionante: los Elementos de Euclides; Sobre la esfera y el cilindro, Medida del c¨ªrculo, El arenario y M¨¦todo sobre los teoremas mec¨¢nicos, dedicado a Erat¨®stenes, de Arqu¨ªmedes; la Aritm¨¦tica de Diofanto; La Geometr¨ªa de Descartes; unos lemas "sobre el movimiento de los cuerpos" de los Philosophia Naturalis Principia Mathematica de Newton; el famoso (y ¨¦ste s¨ª, perfectamente asequible a cualquiera) Ensayo filos¨®fico sobre las probabilidades de Laplace; la Teor¨ªa anal¨ªtica del calor de Fourier, en la que f¨ªsica y matem¨¢tica se hermanan en una fruct¨ªfera uni¨®n para ambas s¨ªntesis; las Disquisiciones aritm¨¦ticas de Gauss, "el pr¨ªncipe de las matem¨¢ticas", como a veces se le denomina; algunas de las lecciones del C¨¢lculo diferencial y del C¨¢lculo integral de Cauchy, quien puso orden (esto es, hizo m¨¢s rigurosas) en ambas ramas del c¨¢lculo; la Investigaci¨®n sobre las leyes del pensamiento de Boole; varios trabajos (entre ellos su c¨¦lebre habilitaci¨®n Sobre las hip¨®tesis en que se funda la geometr¨ªa, de la que surgi¨® la geometr¨ªa de los espacios curvos) de Riemann; Una teor¨ªa de funciones de Weierstrass; ?Qu¨¦ son y para qu¨¦ sirven los n¨²meros? y Continuidad y n¨²meros irracionales, de Dedekin; los Fundamentos de la teor¨ªa de los n¨²meros transfinitos de Cantor; Integral, longitud y ¨¢rea de Lebesgue; Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines, el absolutamente fundamental trabajo de Kurt G?del, con el que este genial y complejo l¨®gico puso t¨¦rmino a la optimista idea -?un vano sue?o?- de que los sistemas matem¨¢ticos son cerrados y completamente coherentes en s¨ª mismos (esta obra tambi¨¦n se reproduce, en una traducci¨®n distinta, en otro de los libros objeto de la presente rese?a, acompa?ado de una extensa y muy instructiva introducci¨®n de Manuel Garrido); y Sobre n¨²meros computables, con una aplicaci¨®n al Entscheidungsproblem de Turing, con el que tan estrechamente est¨¢n ligados los fundamentos l¨®gicos de los ordenadores-computadores.

Una parte de estas obras ya hab¨ªa o estaba disponible en espa?ol antes, aunque no siempre ¨¦stas eran f¨¢ciles de encontrar (que yo sepa, se han traducido ahora por primera vez los textos de Diofanto, Gauss, Cauchy, Weierstrass, Cantor, Lebesgue y Turing). Encontrarlas aqu¨ª reunidas constituye, sin duda de ninguna clase, una contribuci¨®n a la cultura (a secas, no simplemente "cultura cient¨ªfica") de primera magnitud. Como se?alaba antes, la mayor¨ªa son textos de car¨¢cter t¨¦cnico y en consecuencia no accesibles para todos los lectores, pero las introducciones de Hawking que acompa?an a cada cap¨ªtulo y autor alivian algo esta situaci¨®n. En cualquier caso, soy de los que piensan que los libros nos hablan y educan incluso cuando no los leemos del todo, as¨ª que si aman la cultura, si sienten en lo profundo de su alma un deseo por saber m¨¢s, la conciencia de una limitaci¨®n en sus conocimientos, no dejen de adquirir esta obra. Si le prestan atenci¨®n, si leen aqu¨ª y all¨¢, una y otra vez, encontrar¨¢n joyas (acaso simplemente una humilde y apartada frase) que no olvidar¨¢n.

La proporci¨®n ¨¢urea, de Mario Livio, y La proporci¨®n trascendental, de Alfred Posamentier e Ingmar Lehmann, son de otro car¨¢cter. El primero est¨¢ dedicado a la denominada "proporci¨®n ¨¢urea", noci¨®n introducida por Euclides hacia el a?o 300 antes de Cristo cuando escribi¨®: "Se dice que un segmento est¨¢ dividido en media y extrema raz¨®n cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor". Esa "media y extrema raz¨®n" es la "proporci¨®n ¨¢urea", y resulta que tiene un valor num¨¦rico universal: 1,6180339887... En principio podr¨ªamos pensar que semejante resultado no pasa de ser una curiosidad, un hecho aislado en el inmenso oc¨¦ano de resultados matem¨¢ticos. Nada m¨¢s lejos de la realidad, como se encarga de poner en evidencia Livio en este fascinante libro, en el que al mismo tiempo que explora las m¨²ltiples presencias de la "proporci¨®n ¨¢urea", nos introduce en la esencia de lo que es la matem¨¢tica conduci¨¦ndonos a trav¨¦s de diversas culturas. Resulta, en efecto, que la "proporci¨®n ¨¢urea" aparece en dominios muy diferentes; por ejemplo, en la ahora c¨¦lebre serie de Fibonacci, constituida por la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

... El cociente entre dos n¨²meros sucesivos de esta serie (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5

...) va acerc¨¢ndose cada vez m¨¢s al valor antes citado de la "proporci¨®n ¨¢urea". ?Por qu¨¦? Hay que tener el coraz¨®n (de la mente) muy encallecido para no sorprenderse y maravillarse ante hechos como ¨¦ste.

La proporci¨®n trascendental,

de Posamentier y Lehmann, sigue un patr¨®n parecido al del libro de Livio, aunque centr¨¢ndose en un n¨²mero a¨²n m¨¢s b¨¢sico y conocido: pi, el famoso 3,141592... de nuestra infancia. Se trata de una obra tambi¨¦n recomendable, pero en la que sus autores no han sabido o podido desplegar la variedad de aproximaciones y "diversidad cultural" que encontramos en La proporci¨®n ¨¢urea.

Dios cre¨® los n¨²meros. Los descubrimientos matem¨¢ticos que cambiaron la historia. Edici¨®n comentada por Stephen Hawking. Varios traductores. Cr¨ªtica. Barcelona, 2006. 1.031 p¨¢ginas. 49 euros.

La proporci¨®n ¨¢urea. La historia de phi, el n¨²mero m¨¢s sorprendente del mundo. Mario Livio. Traducci¨®n de Daniel Aldea Rossell e Irene Musas Calpe. Ariel. Barcelona, 2006. 302 p¨¢ginas. 19,50 euros.

La proporci¨®n trascendental. La historia de pi, el n¨²mero m¨¢s misterioso del mundo. Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann. Traducci¨®n de Blanca Ribera de Madariaga. Ariel. Barcelona, 2006. 304 p¨¢ginas. 21,90 euros.

Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines. Kurt G?del. Introducci¨®n de Manuel Garrido. Traducci¨®n de M. Garrido, A. Garc¨ªa Suar¨¦z y L. M. Vald¨¦s Villanueva. KRK Ediciones. Oviedo, 2006. 157 p¨¢ginas. 19,95 euros.