Las tres monta?as

Carl Friedrich Gauss, "el pr¨ªncipe de los matem¨¢ticos", era a¨²n muy joven cuando se mand¨® hacer una l¨¢pida en forma de heptadodec¨¢gono regular: que tiene 17 lados iguales. Gauss pretend¨ªa celebrar as¨ª su primer teorema importante, el que demostr¨® que los pol¨ªgonos regulares cuyo n¨²mero de lados resulta ser un "primo de Fermat" son construibles con regla y comp¨¢s.

Los primos de Fermat se obtienen elevando 2 a una potencia de 2 y sumando 1. El 17 (2 a la 2 a la 2 m¨¢s 1) es s¨®lo el tercer primo de Fermat (tras el 3 y el 5), y ya no hay m¨¢s hasta el 257, una l¨¢pida que ni Gauss se atrever¨ªa a encargar. El heptadodec¨¢gono, por tanto, se pod¨ªa considerar una soluci¨®n de compromiso. Hay que imaginarse la conversaci¨®n. El artesano de l¨¢pidas dice que eso no se puede hacer, Gauss le responde que c¨®mo no se va a poder si lo acaba de demostrar ¨¦l con su teorema, y el brillante argumento final del artesano, que ha quedado inmortalizado en la historia de las matem¨¢ticas: "Eso no hay quien lo distinga de un c¨ªrculo".

Cuando Gauss se enrol¨® en un proyecto topogr¨¢fico para el Estado de Hanover, tuvo que empezar por resolver un problema bastante molesto. Cada vez que apuntaba su telescopio de agrimensor hacia la aguja de la iglesia de San Miguel, que estaba a siete millas alemanas de all¨ª (50 kil¨®metros), la ventanita de la iglesia le acertaba de lleno con el reflejo del sol. Gauss se inspir¨® en ese engorro para inventar el heliotropo, un tubo con espejo m¨®vil para que los top¨®grafos se manden "se?ales de sol" a m¨¢s de 10 millas alemanas, y que caus¨® furor entre los agrimensores desde su publicaci¨®n en 1822 (en The Gentleman's Magazine de Londres). Un tal Sylvanus Urban narra all¨ª c¨®mo Gauss y dos ayudantes se cambiaron se?ales entre las cimas de los montes Brocken, Inselsberg y Hohehagen.

Hay una leyenda negra al respecto. Los tres ¨¢ngulos internos de cualquier tri¨¢ngulo suman 180?, pero s¨®lo en el mundo de Euclides, donde las paralelas siguen si¨¦ndolo hasta el infinito, ya que el espacio no tiene curvatura. Pero Euclides no hab¨ªa estado en el infinito para ver qu¨¦ hac¨ªan all¨ª las paralelas. ?Y si se juntaban? Entonces el espacio s¨ª tendr¨ªa curvatura, y los ¨¢ngulos de un tri¨¢ngulo sumar¨ªan m¨¢s de 180?, como si pintas un tri¨¢ngulo en una naranja. As¨ª que todo cuadraba. ?Carl Friedrich Gauss estaba intentando derribar la geometr¨ªa eucl¨ªdea!

Con leyenda negra o sin ella, lo cierto es que los ¨¢ngulos entre las tres monta?as dieron 180 grados. Brocken, Inselsberg y Hohehagen tendr¨ªan que haber estado en tres galaxias distintas para derribar a Euclides con un heliotropo.