La soluci¨®n del desaf¨ªo | M¨²ltiplos de Pi que pretenden ser enteros

Con motivo del D¨ªa de Pi, EL PA?S lanz¨® un desaf¨ªo a sus lectores pregunt¨¢ndoles si hab¨ªa alg¨²n m¨²ltiplo de Pi que distara de alg¨²n entero menos que 0.00000000000000000001.

El lector Jos¨¦ Burillo Puig ha argumentado correctamente la existencia de ese m¨²ltiplo, aunque para ello utiliza un resultado sobre la aproximaci¨®n de Pi por fracciones continuas, cuyo conocimiento no se presupon¨ªa a los lectores. Armando Jim¨¦nez Gal¨¢n, Javier Garc¨ªa, Francisco Jos¨¦ Alc¨¢zar y H¨¦ctor L¨®pez Mart¨ªnez han respondido afirmativamente argumentando que 0xPi =0 es un m¨²ltiplo de Pi que est¨¢ a distancia cero de un entero. Aunque la soluci¨®n es formalmente correcta, se sobreentend¨ªa que la pregunta del problema se refer¨ªa a m¨²ltiplos enteros positivos de Pi como los de los tres ejemplos que se mencionan.

La soluci¨®n proporcionada por el profesor Javier Cilleruelo, que no requiere profundos conocimientos matem¨¢ticos, es la siguiente.

Respuesta: De hecho vamos a probar que para todo N existe un m¨²ltiplo de Pi que dista de un entero menos que 1/N. Para verlo dividimos el intervalo [0,1] en N intervalos de longitud 1/N y consideramos los N n¨²meros Pi, 2*Pi, 3*Pi,¡­., N*Pi. Si la parte decimal de alguno de estos N n¨²meros est¨¢ en el primer intervalo, hemos acabado. Si no es as¨ª, las N partes decimales de estos n¨²meros tienen que caer en los N-1 intervalos restantes. Pero eso significa que en alguno de esos N-1 intervalos caer¨¢n al menos dos de las partes decimales, digamos aquellas correspondientes a r*Pi y a s*Pi para algunos enteros positivos r y s con r<s. En ese caso (s-r)*Pi dista de un entero menos que 1/N, lo que da una respuesta afirmativa al problema planteado.