El dilema de los tres prisioneros

El problema de Monty Hall, planteado la semana pasada, ha suscitado una verdadera avalancha de comentarios, y ha mostrado, una vez m¨¢s, el gran inter¨¦s de este acertijo no solo desde el punto de vista de la l¨®gica y del c¨¢lculo de probabilidades, sino tambi¨¦n de la psicolog¨ªa. Pues a pesar de que varios lectores dieron la soluci¨®n correcta y la argumentaron de forma convincente o la complementaron con ejemplos clarificadores, no han sido pocos los que se han aferrado a la idea de que es indiferente cambiar o no de puerta: puesto que hay dos puertas -dicen- y tras una hay una cabra y tras la otra un coche, la probabilidad de obtener el coche es del 50%. Esta obstinaci¨®n se debe a que nos cuesta mucho pensar de forma contraria a la intuici¨®n, y la intuici¨®n nos dice precisamente eso: dos puertas iguales, iguales probabilidades.

Nos cuesta mucho pensar de forma contraria a la intuici¨®n, y la intuici¨®n nos dice que a dos puertas iguales, iguales probabilidades

Sin embargo, cambiando de puerta la probabilidad de obtener el coche pasa de 1/3 a 2/3, o sea, se duplica. La explicaci¨®n es muy simple, aunque a la vez muy contraintuitiva: es evidente que al elegir una puerta de entre tres la probabilidad de acertar es 1/3, y que la probabilidad de que el coche est¨¦ detr¨¢s de una de las otras dos puertas es 2/3. Tras abrir una de las puertas, la probabilidad de que el coche est¨¦ detr¨¢s de una de las puertas no elegidas sigue siendo 2/3, solo que ahora esa probabilidad se concentra en la puerta no abierta de esas dos, puesto que sabemos que detr¨¢s de la otra hay una cabra.

De los ejemplos puestos por los acertantes para convencer a los renuentes, me parece especialmente clarificador el de Tony Montana, uno de nuestros lectores m¨¢s participativos: ¡°A ver, loter¨ªa de 1.000 n¨²meros, t¨² compras uno y yo compro 999. No te ense?o ninguno. ?Me cambias tu boleto por mis 999 boletos? Ahora otra vez loter¨ªa de 1.000 n¨²meros, t¨² compras uno y yo compro 999, pero esta vez de los m¨ªos te ense?o 998 boletos no premiados. ?Me cambias tu boleto por el m¨ªo que todav¨ªa no te he ense?ado? ?Qu¨¦ diferencia hay entre los dos casos?¡±. Ninguna, obviamente¡­ O no tan obviamente, pues a¨²n hay lectores que no est¨¢n convencidos. Le sobraba raz¨®n al maestro Martin Gardner cuando dijo, en su d¨ªa, que este acertijo era wonderfully confusing.

Tres prisioneros saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cu¨¢l de los tres...

El problema de Monty Hall tiene un claro precedente en el dilema de los tres prisioneros (no confundir con el conocido dilema del prisionero, del que nos ocuparemos en otra ocasi¨®n). Tres prisioneros, a los que llamaremos Alberto, Bernardo y Carlos, saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cu¨¢l de los tres. Alberto soborna al carcelero para que le diga, de los otros dos, el nombre de uno que no vaya a ser indultado. El carcelero acepta el soborno y le dice: ¡°Bernardo no va a ser indultado¡±. Alberto se siente algo mejor, pues piensa que ahora su probabilidad de ser indultado es del 50%, ya que solo hay dos candidatos: Carlos y ¨¦l. ?Est¨¢ justificada su alegr¨ªa? ?Alguien m¨¢s deber¨ªa alegrarse?

Y para que no decaiga, otra sutil variaci¨®n sobre el mismo tema. En una caja hay dos bolas blancas, en otra hay dos bolas negras y en una tercera caja hay una bola blanca y una negra. Sin conocer el contenido de cada caja, metes la mano al azar en una de ellas y sacas una bola blanca. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que la otra bola de esa caja sea tambi¨¦n blanca?

En cuanto a la paradoja de los dos sobres, como ning¨²n lector ha dado una explicaci¨®n convincente (al menos eso creo, aunque podr¨ªa hab¨¦rseme escapado entre los cientos de comentarios recibidos por distintas v¨ªas), pospondr¨¦ mi explicaci¨®n personal y en su lugar plantear¨¦ una variante que tal vez facilite un poco el abordaje de la escurridiza paradoja. Dos amigos se encuentran y uno le dice al otro: ¡°Qu¨¦ bonita corbata llevas¡±, y el otro contesta: ¡°Pues la tuya tambi¨¦n es muy bonita¡±. Y tras intercambiar elogios sobre sus respectivos ap¨¦ndices indumentarios, llegan al siguiente acuerdo: cada uno dir¨¢ lo que le ha costado su corbata, y el que tenga la m¨¢s cara se la regalar¨¢ al otro. La paradoja estriba en que los dos podr¨ªan pensar que la apuesta es ventajosa, pues si ganan obtienen algo que vale m¨¢s que lo que pueden perder. ?C¨®mo puede ser una apuesta ventajosa para ambos apostantes?

Carlo Frabetti

Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯