Hasta el infinito y m¨¢s all¨¢

Evidentemente, podemos dividir los n¨²meros en grandes y peque?os, como nos plante¨¢bamos la semana pasada, si establecemos arbitrariamente una l¨ªnea divisoria; por ejemplo, podemos llamar grandes a los n¨²meros de m¨¢s de seis cifras, con lo que el primero de ellos ser¨ªa un mill¨®n (la contundente terminaci¨®n aumentativa hace que esta decisi¨®n parezca razonable). Pero si 1.000.000 es un n¨²mero grande, ?tiene sentido decir que 999.999 es un n¨²mero peque?o? La vieja y perturbadora ¡°paradoja del mont¨®n¡± ense?a las orejas una vez m¨¢s¡­

Menos complicado que resolver la paradoja sorites es adivinar un n¨²mero entero sub specie aeternitatis, pues basta con ir diciendo alternativamente los positivos y los negativos: 1, -1, 2, -2, 3, -3¡­

Para ir diciendo todas las parejas de n¨²meros naturales, podemos listarlas, en orden creciente, por la suma de sus miembros: 1-1 (suma 2), 1-2 (suma 3), 1-3, 2-2 (suma 4), 1-4, 2-3 (suma 5), 1-5, 2-4, 3-3 (suma 6)¡­

Si tenemos en cuenta el orden de los miembros en cada pareja, la cosa se alarga un poco m¨¢s, pero la estrategia es la misma: 1-1, 1-2, 2-1, 1-3, 3-1, 2-2, 1-4, 4-1, 2-3, 3-2, 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3¡­

Para los n¨²meros fraccionarios, nos sirve la lista anterior sustituyendo los guiones por barras: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3¡­ De este modo, todas las fracciones aparecen muchas veces (infinitas, de hecho), pero tenemos la certeza de no dejarnos ninguna.

Y llegamos a los irracionales. Un matem¨¢tico apresurado seguramente dir¨ªa que, puesto que el conjunto de los irracionales es un infinito no numerable (un n¨²mero transfinito, seg¨²n la terminolog¨ªa de Cantor), es imposible recitar una lista exhaustiva y, por tanto, ni en toda la eternidad tendr¨ªamos la certeza de dar con un irracional concreto pensado por alguien. Pero el matem¨¢tico apresurado se equivocar¨ªa.

Ante todo, demostremos que el matem¨¢tico tiene raz¨®n al afirmar que los irracionales no son numerables. Imaginemos que tenemos la lista completa de los irracionales comprendidos entre 0 y 1 (o sea, de la forma 0,...) y construyamos uno de la misma forma con el primer decimal distinto del primer decimal del primer n¨²mero de la lista, el segundo decimal distinto del segundo decimal del segundo n¨²mero de la lista, y as¨ª sucesiva e indefinidamente. Ese n¨²mero ser¨¢ distinto del primero de la lista en al menos el primer decimal, ser¨¢ distinto del segundo en al menos el segundo decimal¡­ Es decir, no estar¨¢ en la lista. Pero hab¨ªamos dicho que era una lista completa, y la operaci¨®n descrita podr¨ªamos llevarla a cabo con cualquier lista. Luego es imposible hacer una lista completa de los n¨²meros irracionales, o, dicho de otro modo, no son numerables.

Pero entonces no podemos recitar ordenadamente una lista exhaustiva de los irracionales, el matem¨¢tico tiene raz¨®n¡­ Pues no, no tiene raz¨®n, ya que no se trata de adivinar un n¨²mero cualquiera, sino uno pensado por alguien. Por lo tanto, disponemos de una estrategia lenta pero segura: recitamos las letras dl alfabeto, luego las parejas de letras, luego los tr¨ªos¡­ O sea, vamos diciendo todo lo decible, y puesto que un n¨²mero pensado por alguien tiene que poder describirse con un n¨²mero finito de palabras, acabaremos nombr¨¢ndolo. Los n¨²meros irracionales no son numerables, pero los pensables s¨ª.

El hotel de Hilbert

Para ilustrar algunas paradojas del infinito, el gran matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert imagin¨® un hotel de infinitas habitaciones, en el que te invito a alojarte por un d¨ªa (o por toda la eternidad).

Pero, ay, cuando llegas al hotel de Hilbert resulta que sus infinitas habitaciones est¨¢n todas ocupadas. Sin embargo, la recepcionista te gui?a un ojo y te dice que, con la amable colaboraci¨®n de los hu¨¦spedes, puede conseguir que quede libre una habitaci¨®n para ti. ?C¨®mo?

El amable trato recibido en el hotel de Hilbert te anima a presentarte all¨ª, unos d¨ªas despu¨¦s, en compa?¨ªa de infinitos amigos. El hotel est¨¢ completo, pero, una vez m¨¢s, y con la amable colaboraci¨®n de los hu¨¦spedes, la recepcionista consigue alojaros a ti y a tu comitiva infinita. ?C¨®mo?

En realidad no hay un hotel de Hilbert, sino infinitos, y todos ellos con infinitas habitaciones. Un d¨ªa, para ahorrar gastos, deciden cerrarlos todos menos uno; pero todas las habitaciones de todos los hoteles est¨¢n ocupadas, por lo que hay que trasladar a todos esos hu¨¦spedes al ¨²nico hotel que queda abierto, y de forma que cada hu¨¦sped tenga su propia habitaci¨®n. ?Es ello posible?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯