Un cuerno finito-infinito

El mundo de las matem¨¢ticas est¨¢ repleto de figuras con caracter¨ªsticas interesantes o con propiedades curiosas. En ocasiones, estas figuras tienen una definici¨®n extra?a o son creadas expresamente para que posean esas propiedades que resultan sorprendentes o que, de alguna manera, atentan contra nuestra intuici¨®n.

No es el caso de la figura que nos ocupa hoy. Su definici¨®n es relativamente sencilla y, sin embargo, presenta una curiosa caracter¨ªstica que relaciona lo finito y lo infinito. Nos referimos al conocido como cuerno de Gabriel.

El cuerno de Gabriel (tambi¨¦n llamado trompeta de Torricelli), se puede construir de la siguiente forma: tomamos la porci¨®n de la curva f(x)=1/x, desde el punto x=1 hasta infinito, y la giramos en torno al eje X. Con esto obtenemos una superficie tridimensional, que es la que se conoce como cuerno de Gabriel. En la imagen pod¨¦is ver la representaci¨®n de la curva y la figura tridimensional que quedar al girar en torno al eje X.

Imaginemos ahora que queremos pintar la superficie externa del cuerno de Gabriel. S¨ª, pintar, con pintura y brocha. Teniendo en cuenta que la superficie es infinita, no ser¨ªa descabellado pensar que necesitar¨ªamos pintura infinita para poder conseguir nuestro objetivo. Pues s¨ª, es correcto: necesitar¨ªamos infinita pintura para poder pintar la superficie externa del cuerno de Gabriel.

Supongamos ahora que lo que queremos hacer es rellenar el interior del cuerno con pintura. Como antes, no ser¨ªa ninguna locura pensar que volver¨ªamos a necesitar pintura infinita para ello, pero en este caso no es as¨ª: podr¨ªamos rellenar el interior del cuerno de Gabriel con una cantidad finita de pintura.

El tema de la pintura es un intento de acercar a la realidad una cuesti¨®n que es meramente matem¨¢tica. En realidad, lo que estamos haciendo es considerar pintura, digamos, ¡°ideal¡±, y la cuesti¨®n de pintar la superficie del cuerno tendr¨ªa que ver con el ¨¢rea del mismo, al igual que rellenarlo est¨¢ relacionado con su volumen. En definitiva, la cuesti¨®n es que el cuerno de Gabriel es una superficie tridimensional con ¨¢rea infinita y volumen finito. Y ¨¦sa es la caracter¨ªstica m¨¢s curiosa y, en cierto modo, contraria a la intuici¨®n que podr¨ªamos tener al pensar en ello.

El c¨¢lculo de los valores del ¨¢rea y el volumen de esta interesante figura se puede hacer de manera relativamente sencilla mediante integrales, aunque en este caso, por tener un rango de 1 a infinito, necesitaremos integrales impropias. Para calcular el volumen, tendremos que integrar el cuadrado de la funci¨®n que genera nuestro cuerpo de revoluci¨®n y multiplicar el resultado por Pi. Y para el ¨¢rea, integramos el producto de la funci¨®n por la ra¨ªz cuadrada de 1 m¨¢s la derivada de la funci¨®n al cuadrado, y despu¨¦s multiplicamos el resultado por 2Pi.

En nuestro caso, como tenemos que usar integrales impropias, tendremos que tomar l¨ªmites despu¨¦s de calcular las integrales. Tambi¨¦n es interesante destacar que para calcular el ¨¢rea hemos acotado inferiormente la integral correspondiente por otra que se calcula m¨¢s f¨¢cilmente. Aqu¨ª ten¨¦is los desarrollos de cada uno de estos c¨¢lculos:

Por cierto, es interesante resaltar que la situaci¨®n contraria a la que se da en esta superficie no se puede presentar. Es decir, no podemos tener una superficie de este tipo que tenga superficie finita y volumen infinito.

El hecho de que el volumen del cuerno de Gabriel sea finito fue descubierto por el matem¨¢tico italiano Evangelista Torricelli a mediados del siglo XVII, y en su momento se consider¨® como una paradoja, generando cierta controversia entre los matem¨¢ticos y pensadores de la ¨¦poca. Teniendo en cuenta que en ese momento hist¨®rico todav¨ªa no se hab¨ªa desarrollado el c¨¢lculo (es decir, no ¡°hab¨ªa¡± integrales), ?c¨®mo pudo hacerlo? Pues con su m¨¦todo de los indivisibles, una extensi¨®n del conocido como principio de Cavalieri. En este enlace ten¨¦is informaci¨®n sobre la demostraci¨®n de Torricelli.

Espero que, a quienes no lo conoc¨ªais, os haya resultado interesante la presentaci¨®n del cuerno de Gabriel. Y tambi¨¦n espero que los que ya lo conoc¨ªais hay¨¢is desfrutado recordando de nuevo las interesantes caracter¨ªsticas de esta figura. Sea cual sea el grupo al que pertenezc¨¢is, es posible que esta superficie os haya tra¨ªdo a la mente m¨¢s objetos matem¨¢ticos que consider¨¦is procedente mencionar. Si es as¨ª, os agradecer¨ªa que lo hicierais en los comentarios.