Hasta los genios se equivocan

Todos, absolutamente todos, nos equivocamos en alguna ocasi¨®n. Todos hemos cometido un error en alg¨²n momento, todos hemos tenido que rectificar alguna vez (o al menos deber¨ªamos haberlo hecho) y todos hemos pensado en alguna ocasi¨®n que nuestro argumento era correcto y al final nos hemos dado cuenta de que no era as¨ª.

Por otra parte, en todos los ¨¢mbitos del conocimiento existen figuras ic¨®nicas, ¨ªdolos, maestros, personajes que han marcado profundamente la historia y el desarrollo de dicha rama. Personas que, por su omnipresencia en ese ¨¢mbito, parecen infalibles. Pero no, ni siquiera ellos lo son.

Leonhard Euler es uno de los matem¨¢ticos m¨¢s importantes e influyentes de la historia de las matem¨¢ticas. Pocos pueden siquiera acercarse a su productividad y la importancia de sus trabajos. Euler, el matem¨¢tico m¨¢s prol¨ªfico de la historia de las matem¨¢ticas, tambi¨¦n se equivoc¨®. Y de ello vamos a hablar hoy.

En el a?o 1637, Pierre de Fermat dej¨® para la posteridad una conjetura, denominada ¨²ltimo teorema de Fermat (en adelante UTF), sobre potencias de n¨²meros enteros positivos escrita en el margen de un libro que result¨® ser uno de los enigmas matem¨¢ticos que m¨¢s tiempo han perdurado sin demostraci¨®n. Finalmente, fue Andrew Wiles, en 1995, quien le puso el cascabel al gato demostrando que el UTF era cierto.

El UTF dec¨ªa b¨¢sicamente lo siguiente:

Si n es un entero positivo mayor que 2, no existen n¨²meros enteros positivos x, y y z tales que xⁿ+yⁿ=zⁿ.

Muchos fueron los matem¨¢ticos que intentaron demostrar o refutar esta conjetura, y muchos tambi¨¦n los que realizaron aportaciones importantes sobre la misma, entre ellos Euler.

Pero no vamos a hablar de esta conjetura, sino de otra. En 1769, en el transcurso de sus investigaciones sobre este problema, Euler propuso una conjetura que, en cierto sentido, generaliza al UTF. La conocida como conjetura de Euler podr¨ªa enunciarse de esta forma:

Al igual que un cubo no puede ser suma de dos cubos (necesitar¨ªamos al menos tres cubos), una cuarta potencia no puede ser suma de tres cuartas potencias (necesitar¨ªamos al menos cuatro), y una quinta potencia no puede ser suma de cuatro quintas potencias (necesitar¨ªamos al menos cinco), y, en general, una potencia de exponente n no puede ser suma de n-1 potencias de dicho exponente n.

Que una potencia 3 (un cubo) no puede ser suma de 2 potencias 3 (que es el caso n=3 del UTF) lo demostr¨® el propio Euler; el resto del enunciado anterior es lo que conjetur¨®. Esto significar¨ªa que la ecuaci¨®n

x⁴+y⁴+z⁴=s⁴

no tendr¨ªa soluci¨®n para valores enteros positivos de todas sus inc¨®gnitas. Y lo mismo pasar¨ªa con la ecuaci¨®n

x⁵+y⁵+z⁵+t⁵=s⁵

Y, en general, con n-1 potencias de exponente n, para n mayor o igual que 4.

As¨ª qued¨® la cosa, sin avances ni hacia un lado ni hacia el otro, hasta 1911. Una de las cosas que conjetur¨® Euler era que hac¨ªa falta sumar al menos cuatro potencias cuartas para obtener una potencia cuarta, pero no se conoc¨ªa ning¨²n ejemplo que necesitara exactamente cuatro de estas potencias. En ese a?o, en 1911, R. Norrie presentaba el primer ejemplo conocido:

30⁴+120⁴+272⁴+315⁴=353⁴

por lo que podemos decir que esa (peque?a) parte de la conjetura era cierta. Despu¨¦s se encontraron m¨¢s ejemplos como este para n=4, y para otros valores de n tambi¨¦n se conocen ejemplos, como para n=5 (Sastry)

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵

para n=7 (Dodrill)

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷

o para n=8 (Scott Chase)

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸

pero el resto de la conjetura, lo gordo, segu¨ªa igual, sin demostrarse ni refutarse¡­

¡­hasta 1966. En dicho a?o, L. J. Lander y T. R. Parkin publicaban el art¨ªculo A Counterexample to Euler¡¯s Sum of Powers Conjecture, que, adem¨¢s de contener mucha m¨¢s informaci¨®n sobre este tema, inclu¨ªa el primer contraejemplo conocido para el caso n=5:

27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵

?La conjetura de Euler era falsa para n=5! M¨¢s adelante se encontraron m¨¢s contraejemplos para este caso, como este de Roger Frye en 2004:

55⁵ + 3183⁵ + 28969⁵ + 85282⁵ = 85359⁵

Pero, como hemos comentado, esto solamente resolv¨ªa parte de la conjetura, ya que, por ejemplo, el caso n=4 segu¨ªa abierto¡­hasta 1988, a?o en el que Noam Elkies encontraba un m¨¦todo para generar infinitos contraejemplos de la conjetura de Euler. El m¨¢s peque?o de ellos es este:

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴

?La conjetura de Euler tambi¨¦n era falsa para n=4! Y no s¨®lo por un contraejemplo, sino por infinitos. Adem¨¢s, los que genera el m¨¦todo de Elkies no son los ¨²nicos, ya que ese mismo a?o 1988, siguiendo la l¨ªnea de las t¨¦cnicas de Elkies, Roger Frye encontraba el contraejemplo m¨¢s peque?o posible para n=4:

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴

Y pare usted de contar. No se sabe si la conjetura es cierta o falsa para n mayor o igual que 6. De hecho, para n=6 ni siquiera se conocen ejemplos (al menos que yo sepa) de seis potencias sextas cuya suma d¨¦ como resultado una potencia sexta, y lo mismo para n mayor o igual que 9. Con un ordenador potente y muuuuuuuucho tiempo pod¨¦is intentar encontrar ejemplos o contraejemplos de todos estos casos, pero la verdad es que no os lo recomiendo.

En resumen, a pesar de su enorme capacidad y su magn¨ªfica intuici¨®n para las matem¨¢ticas, Euler se equivoc¨® con su conjetura. Bueno, en realidad hasta ahora sabemos que estaba equivocado al menos en parte (para n=4 y para n=5). Aunque nos tocar¨¢ esperar para saber si tambi¨¦n err¨® para el resto de valores o si, por el contrario, en esos casos estaba en lo cierto, podemos decir que Euler tambi¨¦n fall¨®, al menos en esta ocasi¨®n. Hasta los genios se equivocan.

Para terminar, os quiero pedir que nos habl¨¦is en los comentarios sobre otros errores relacionados con matem¨¢ticas que pudo cometer Euler o cualquier otro matem¨¢tico. Seguro que ser¨¢ interesante conocerlos e indagar en ellos.