La paradoja de Berry

El menor n¨²mero que no puede expresarse con menos de tres palabras es el treinta y uno, a no ser que aceptemos la posibilidad de escribirlo de la forma ¡°treintaiuno¡±, poco ortodoxa pero tolerada por la RAE, en cuyo caso pasar¨ªamos al mil ciento uno.

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En cuanto al segundo acertijo planteado la semana pasada, se las trae, y ha suscitado numerosos y muy enjundiosos comentarios. ?Cu¨¢l es el menor n¨²mero natural que no puede definirse con menos de catorce palabras? Sea cual fuere, al decir ¡°el menor n¨²mero natural que no puede definirse con menos de catorce palabras¡± lo definimos con trece palabras, lo que entra?a una contradicci¨®n conocida como paradoja de Berry, pues Bertrand Russell la plante¨® a partir de las reflexiones de G. G. Berry, bibliotecario de la Universidad de Oxford, que hab¨ªa se?alado la ¨ªndole parad¨®jica de expresiones tales como ¡°el primer n¨²mero ordinal que no se puede definir¡±.

Esta paradoja, junto con la famosa paradoja del barbero, tambi¨¦n reformulada por Russell en relaci¨®n con la teor¨ªa de conjuntos (?se contiene a s¨ª mismo el conjunto de los conjuntos que no se contienen a s¨ª mismos?), dio al traste con el monumental proyecto logicista de Gottlob Frege, que pretend¨ªa reducir la matem¨¢tica a la l¨®gica (en el sentido de deducir las verdades de la matem¨¢tica directa y exclusivamente de las verdades de la l¨®gica). En 1902, con su obra Leyes b¨¢sicas de la aritm¨¦tica ya en la imprenta, Frege recibi¨® una carta de Russell en la que le se?alaba, a partir de las citadas paradojas, una incoherencia en su sistema l¨®gico-matem¨¢tico (en honor de Frege hay que decir que encaj¨® con gran entereza aquel golpe que desbarataba el resultado de largos a?os de trabajo y supo convertir su error en punto de partida de nuevas aportaciones al desarrollo de la l¨®gica).?

Paradojas replanteadas

Como acabamos de ver, en realidad las paradojas atribuidas a Russell no son suyas; pero ¨¦l las reformul¨® y replante¨® en un contexto que les confiri¨® un nuevo e importante papel. Intentemos emularlo:

1. ?Qu¨¦ pasar¨ªa si Pinocho dijera ¡°Va a crecerme la nariz¡±? ?Es esta paradoja id¨¦ntica a la famosa paradoja del mentiroso o posee caracter¨ªsticas propias?

2. A estas alturas no tiene mucho sentido volver a preguntar qu¨¦ fue antes, el huevo o la gallina; pero tal vez lo tenga esta otra pregunta: del mismo modo que la paradoja de Russell sobre los conjuntos que se contienen a s¨ª mismos es equivalente a la paradoja del barbero, ?de qu¨¦ famosa paradoja es una variante ¡ªo un caso particular¡ª la del huevo y la gallina?

3. Llamemos autorreferentes a las palabras aplicables a s¨ª mismas (como ¡°sustantivo¡±, que es ella misma un sustantivo, o ¡°esdr¨²jula¡±, que es esdr¨²jula) y no-autorreferentes a las que no lo son (como ¡°adjetivo¡±, que no es un adjetivo, o ¡°aguda¡±, que es llana). ?Qu¨¦ clase de palabra es ¡°no-autorreferente¡±? ?A qu¨¦ paradoja remite esta cuesti¨®n?