Las matem¨¢ticas de la fecha del Domingo de Resurrecci¨®n

Estamos en plena Semana Santa, ¨¦poca importante para los cat¨®licos en las que las procesiones son las grandes protagonistas. En esta semana, son varias las fechas se?aladas para los creyentes: Domingo de Ramos, Jueves Santo, Viernes Santo o Domingo de Resurrecci¨®n.

La Semana Santa suele celebrarse en alguna semana de marzo o abril, pero no todos los a?os cae en las mismas fechas. ?C¨®mo se elige la semana de celebraci¨®n? Si alguna vez pensaste que se hac¨ªa de manera aleatoria o a dedo, te dir¨¦ que est¨¢s equivocado: la elecci¨®n de la semana de Semana Santa se hace con matem¨¢ticas. Y hoy vamos a explicar c¨®mo se hace dicha elecci¨®n mediante el c¨¢lculo de la fecha del Domingo de Resurrecci¨®n.

Antes de meternos con las matem¨¢ticas, hablemos un poco sobre la historia del d¨ªa de Pascua de Resurrecci¨®n. En el a?o 325, en el Concilio de Nicea, se establecen las reglas para el c¨¢lculo del d¨ªa de Pascua de Resurrecci¨®n (hasta ese momento hab¨ªa distintos grupos que hac¨ªan el c¨¢lculo de manera distinta): la celebraci¨®n deb¨ªa ser en domingo, no pod¨ªa coincidir con la Pascua jud¨ªa y no deb¨ªa celebrarse m¨¢s de una vez cada a?o.

Esto solucion¨® m¨¢s o menos el tema, pero todav¨ªa segu¨ªa habiendo diferencias, principalmente relacionadas con la forma de calcular la edad de la Luna. Finalmente, Dionisio el Exiguo estableci¨® en el a?o 525 las bases para el c¨¢lculo de la fecha de la Pascua de Resurrecci¨®n. Estas bases son las siguientes:

- Debe ser un domingo.

- Ese domingo debe ser el siguiente a la primera luna llena de la primavera boreal (aunque si esa fecha cae en domingo, se traslada al domingo siguiente para no coincidir con la Pascua jud¨ªa).

- La luna pascual es la que cumple que su plenilunio se produce en el equinoccio de primavera des hemisferio norte o inmediatamente despu¨¦s. Dicho equinoccio es el 21 de marzo.

- Se necesita saber el d¨ªa del ciclo lunar en el que est¨¢ la Luna el 1 de enero del a?o del que queremos hacer el c¨¢lculo. Ese dato variar¨¢ entre 0 y 29.

Con todo esto, queda m¨¢s o menos claro que el Domingo de Resurrecci¨®n cae, obligatoriamente, entre el 22 de marzo y el 25 de abril. Para calcular la fecha exacta de cada a?o existen varios m¨¦todos (de hecho hasta ha habido tablas de c¨¢lculo de dicha fecha). Posiblemente, el m¨¢s sencillo es el conocido como algoritmo de Gauss, que se basa en la aritm¨¦tica modular y que es el que vamos a intentar explicar en los pr¨®ximos p¨¢rrafos.

Llamemos A al a?o del cual queremos calcular la fecha del Domingo de Resurrecci¨®n. Para calcular la fecha que buscamos con este m¨¦todo, debemos definir diez variables: a, b, c, k, p, q, M, N, d y e. En el siguiente cuadro pod¨¦is ver la definici¨®n de cada una de ellas:

A partir de esto, la fecha del Domingo de Resurrecci¨®n es la siguiente:

Por razones hist¨®ricas, hay dos excepciones que es necesario comentar. Si obtenemos el 26 de abril nos salimos del rango, por lo que el Domingo de Resurrecci¨®n ser¨¢ el 19 de abril (una semana antes). Y si obtenemos el 25 de abril con d = 28, e = 6 y a > 10, el Domingo de Resurrecci¨®n ser¨¢ el 18 de abril (la semana anterior).

Veamos un ejemplo: vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrecci¨®n de este a?o 2017. Tomando entonces A = 2017, tenemos que:

- a = 3 (el resto de dividir 2017 entre 19).

- b = 1 (resto de dividir 2017 entre 4).

- c = 1 (resto de dividir 2017 entre 7).

- k = 20 (redondeo por defecto del resultado de dividir 2017 entre 100).

- p = 6 (redondeo por defecto del resultado de dividir 13 + 8k entre 25).

- q = 5 (redondeo por defecto del resultado de dividir k entre 4).

- M = 24 (resto de dividir 15 ¨C p + k ¨C q entre 30).

- N = 5 (resto de dividir 4 + k ¨C q entre 7).

- d = 21 (resto de dividir 19a + M entre 30).

- e = 4 (resto de dividir 2b + 4c + 6d + N entre 7).

Como d + e = 25 > 9, tenemos que, en 2017, el Domingo de Resurrecci¨®n ser¨¢ el 25 ¨C 9 = 16 de abril, como en realidad ocurre.

Aunque, como dec¨ªamos antes, ¨¦ste es el m¨¦todo m¨¢s sencillo, puede verse que tiene cierta complejidad. Vamos a intentar explicar, a grandes rasgos, el funcionamiento del mismo.

El m¨¦todo puede dividirse en dos partes: el c¨¢lculo de d (n¨²mero de d¨ªas desde el 22 de marzo hasta la primera luna llena) y el c¨¢lculo de e (el n¨²mero de d¨ªas desde esa primera luna llena hasta el primer domingo).

El ciclo lunar se repite cada 19 a?os (con un peque?o error de 2 horas). El c¨¢lculo de a controla eso: la posici¨®n entre esos 19 en la que se encuentra nuestro a?o A. Como un a?o lunar tiene, aproximadamente, 354 d¨ªas, nos faltar¨ªan 11 para llegar a los 365 de un a?o del calendario. Y como, al hablar de restos m¨®dulo 30, es lo mismo restar 11 que sumar 19, esto explica el 19a de la f¨®rmula de c¨¢lculo de d. El c¨¢lculo de M tiene que ver con el cambio del calendario juliano al gregoriano, con los a?os bisiestos m¨²ltiplo de 100 y con el ajuste de ese peque?o error de 2 horas en el ciclo lunar. El m¨®dulo 30 que aparece tanto en M como en d tiene que ver con el ciclo lunar de 30 d¨ªas entre el 22 de marzo y el 20 de abril.

Cuando ya tenemos calculada esa primera luna llena, tenemos que avanzar hasta el primer domingo posterior a ella. De ese c¨¢lculo se ocupa e, que tendr¨¢ un valor de 0 a 6 (porque la semana tiene 7 d¨ªas), por eso su c¨¢lculo es m¨®dulo 7. Su definici¨®n controla el desplazamiento del d¨ªa de la semana de un a?o a otro (tanto si es bisiesto como si no lo es) y que el comienzo de los c¨¢lculos para cada siglo sea el correcto.

Para m¨¢s informaci¨®n sobre todas estas constantes, pod¨¦is visitar Easter Date Algorithms y Gauss¡¯ Algorithm for Easter Date.

Como pod¨¦is ver, la aritm¨¦tica modular es una herramienta matem¨¢tica muy ¨²til en distintas situaciones. Mi intenci¨®n, adem¨¢s de desvelarla manera en la que se calcula esta fecha del Domingo de Resurrecci¨®n, era mostrar esa gran utilidad. Espero haberlo conseguido.