Las formas matem¨¢ticas de la danza

Las matem¨¢ticas y la danza son dos disciplinas que se caracterizan por su autoexigencia y complicaci¨®n. Para entender un razonamiento matem¨¢tico, el cerebro necesita una mayor activaci¨®n que para entender un discurso argumentativo, lo que requiere mucha energ¨ªa mental. En el ballet, adem¨¢s de haber un consumo de energ¨ªa f¨ªsica por razones obvias, el trasfondo va m¨¢s all¨¢ de lo f¨ªsico: se necesita una gran capacidad de memorizaci¨®n y concentraci¨®n para realizar constantes ejercicios de aritm¨¦tica. Desde otro punto de vista, tanto en el ballet como en las matem¨¢ticas subyace la belleza de las formas estructuradas, lo que nos permite hacer una lectura matem¨¢tica del baile identificando matem¨¢ticamente los elementos que aparecen en esta disciplina art¨ªstica.

En el ballet cl¨¢sico la perspectiva y la imagen son fundamentales y, por ello, la geometr¨ªa ofrece un camino a la perfecci¨®n en las proporciones y formas sobre el escenario. Por ejemplo, algunas figuras del ballet encuentran su excelencia en su inscripci¨®n en pol¨ªgonos.El movimiento entre estas posiciones se ejecuta siguiendo relaciones de simetr¨ªa, que generan una sensaci¨®n de armon¨ªa y orden. El conjunto de los movimientos que dejan invariante el plano donde se inscribe el movimiento y cuerpo del bailar¨ªn (por ejemplo, un giro o una traslaci¨®n), con su asociada operaci¨®n de composici¨®n, forman una estructura algebraica que los matem¨¢ticos denominan como grupo.

Desde otra perspectiva, el movimiento del bailar¨ªn se puede entender como un sistema din¨¢mico, estudiando la evoluci¨®n temporal de sus posiciones. Esta evoluci¨®n se describe mediante ecuaciones diferenciales, en particular, se modeliza el cuerpo girando como un s¨®lido r¨ªgido con un eje de simetr¨ªa similar al de una peonza. Sof¨ªa Kovalevkaya fue la primera en estudiar estas ecuaciones diferenciales en el siglo XIX. Los reg¨ªmenes est¨¢ticos, los equilibrios que aparecen en la concatenaci¨®n de pasos de un bailar¨ªn, en el preludio de piruetas m¨²ltiples, o los correspondientes a ciertos silencios musicales, tambi¨¦n pueden identificarse mediante ecuaciones diferenciales.

La concatenaci¨®n de los pasos adem¨¢s sigue un cierto patr¨®n num¨¦rico marcado por el ritmo. El matem¨¢tico alem¨¢n Gottfried Wilhelm Leibniz afirm¨® que ¡°la m¨²sica es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que est¨¢ contando¡±. Los ritmos en la danza constituyen la forma m¨¢s intuitiva de matem¨¢tica elemental: la aritm¨¦tica. En el ballet cl¨¢sico existen dos tipos fundamentales de ritmo, los adagios y los allegros. En los adagios los movimientos se realizan muy lentamente, generalmente n el lapso temporal de ocho tiempos musicales o m¨²ltiplos de ocho. Visualmente, estos movimientos resultan alargados, casi est¨¢ticos, y la fuerza y flexibilidad juegan el papel m¨¢s importante.

En contraposici¨®n, los allegros se representan con saltos grandes y peque?os intercalados en intervalos de tiempo peque?os, y la sensaci¨®n que causan es la de un movimiento muy r¨¢pido, apoyado en una gran resistencia, agilidad y potencia de salto.

As¨ª, una coreograf¨ªa se corresponde con una serie num¨¦rica ordenada con los tiempos musicales invertidos en cada paso: a este procedimiento, le denominamos sucesi¨®n matem¨¢tica y se repetir¨¢ a lo largo de la composici¨®n, dando lugar a una recurrencia matem¨¢tica, la frecuencia con que se repite la serie. Del estudio de sucesiones se encarga una de las ramas m¨¢s antiguas de las matem¨¢ticas, la denominada teor¨ªa de n¨²meros.

Por ¨²ltimo, la concepci¨®n del espacio es fundamental, tanto para los core¨®grafos como para los bailarines. La comprensi¨®n tradicional del espacio nos har¨ªa verlo como un espacio euclidiano, en el que el movimiento se traza en rectas, y los desplazamientos se realizan por medio de traslaciones y giros. Sin embargo, las danzas m¨¢s contempor¨¢neas experimentan con nuevas escenograf¨ªas con espacios curvos, en los que adem¨¢s, el cuerpo se contorsiona hasta posiciones m¨¢s arriesgadas. Estos nuevos espacios, desde el punto de vista matem¨¢tico, dir¨ªamos que son variedades, y los espacios curvos son un tipo particular de ellas. Las variedades son espacios que localmente pueden tratarse como el espacio euclidiano original, pero que de forma global presentan propiedades que distan mucho del espacio eucl¨ªdeo, que tiene curvatura nula. Los espacios de curvatura constante se llaman variedades riemannianas, y sus dos principales ejemplos son el espacio el¨ªptico e hiperb¨®lico.

Todos estos puntos en com¨²n entre el arte y la ciencia muestran que las matem¨¢ticas no solamente poseen la verdad, sino tambi¨¦n la suprema belleza, una belleza fr¨ªa y austera, como la de la escultura, como dijo Bertrand Russell, y tambi¨¦n como la del cuerpo de un bailar¨ªn, y las escenograf¨ªas m¨¢s contempor¨¢neas.

Cristina Sard¨®n es investigadora del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.