Probabilidades parad¨®jicas

En un viaje de ida y vuelta por el mismo camino, como el de nuestro ciclista de la semana pasada, la distancia total recorrida es, obviamente, el doble de la distancia de ida; y para recorrer el doble de distancia al doble de velocidad (pasando de 20 a 40 km/h) se necesita el mismo tiempo, por lo que el viaje de vuelta se tendr¨ªa que hacer en un tiempo cero, o lo que es lo mismo, a velocidad infinita. Es un buen ejemplo de esos problemas que, enfoc¨¢ndolos adecuadamente, se resuelven sin necesidad de c¨¢lculos.

Hay numerosos acertijos basados en viajes de ida y vuelta; recordemos uno de los m¨¢s conocidos:

Un avi¨®n vuela en l¨ªnea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y luego vuelve en l¨ªnea recta de B a A. El avi¨®n vuela a una velocidad constante y no hay viento. En un segundo viaje de A a B y vuelta, sopla un viento constante de A a B. El tiempo total de ida y vuelta en este segundo viaje ?ser¨¢ el mismo, menor o mayor que en el primer viaje?

Pero el tema estrella de las ¨²ltimas semanas, por decisi¨®n expresa de nuestras/os lectoras/es habituales, es el del c¨¢lculo de probabilidades y sus a menudo parad¨®jicos -por contraintuitivos- resultados. Veamos algunos ejemplos:

Sencillos pero escurridizos

En el sombrero del matemago hay tres tarjetas: una con las dos caras blancas, una con las dos caras rojas y una bicolor, con una cara blanca y la otra roja. El matemago saca una de las tarjetas y la cara que te muestra es roja. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que al dar la vuelta a la tarjeta te muestre otra cara roja?

Tengo dos hijos, y uno es var¨®n; ?cu¨¢l es la probabilidad de que el otro tambi¨¦n sea var¨®n?

Tengo dos hijos, y el mayor es var¨®n; ?cu¨¢l es la probabilidad de que el otro tambi¨¦n sea var¨®n?

Tengo dos hijos, y el m¨¢s travieso es var¨®n; ?cu¨¢l es la probabilidad de que el otro tambi¨¦n sea var¨®n?

Pero, un momento, ?no es el mismo problema en los tres casos? ?Qu¨¦ m¨¢s da qui¨¦n sea el mayor o el m¨¢s travieso? ?Acaso la edad o el car¨¢cter influyen en la probabilidad?

Y sigue en pie, una semana m¨¢s, el metaproblema probabil¨ªstico: ?por qu¨¦ es tan f¨¢cil hacerse un l¨ªo con el c¨¢lculo de probabilidades, incluso con problemas tan sencillos como los anteriores? Seguramente ten¨ªa raz¨®n el recientemente fallecido matem¨¢tico y divulgador estadounidense Amir Aczel cuando dec¨ªa que la teor¨ªa de probabilidades es la menos intuitiva de todas las ramas de las matem¨¢ticas. S¨ª, pero ?por qu¨¦? En algunos aspectos parece todo lo contrario: tenemos muy claro, sin necesidad de estudiar matem¨¢ticas, que jugando a cara o cruz hay un 50 % de probabilidades de ganar, o que al lanzar un dado la probabilidad de sacar un seis es 1/6. Y sin embargo¡­

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.