Paradojas, ambig¨¹edades y falacias

Las paradojas probabil¨ªsticas de la semana pasada han puesto de manifiesto, una vez m¨¢s, cu¨¢n escurridizos pueden ser los problemas de probabilidades, incluso los aparentemente m¨¢s sencillos.

Si en una familia hay dos hijos (sin especificar sexo) y el mayor es var¨®n, la probabilidad de que el otro tambi¨¦n sea var¨®n es 1/2, ya que solo hay dos posibilidades (que el segundog¨¦nito sea ni?o o que sea ni?a) y son equiprobables (partiendo del supuesto de que nacen igual n¨²mero de ni?os que de ni?as). Si en vez de decir ¡°el mayor¡± decimos ¡°el m¨¢s travieso¡±, intuitivamente parece un caso distinto, pero es equivalente, puesto que no hay ninguna raz¨®n para que tener m¨¢s a?os sea m¨¢s relevante, a estos efectos, que tener m¨¢s travesuras acumuladas: en ambos casos nos dicen que el var¨®n es un hijo concreto y no cualquiera de los dos.

M¨¢s claro parece el caso en que nos dicen que uno de los dos hijos es var¨®n, sin especificar cu¨¢l. La probabilidad de que el otro hijo tambi¨¦n sea var¨®n parece 1/3, puesto que hay tres casos en los que al menos uno es var¨®n: HH, HM y MH, y en solo uno de ellos hay dos varones (Hombre-Hombre). Pero este razonamiento es cuestionable ?Por qu¨¦?

El acertijo de las tarjetas no ha recibido la atenci¨®n que merece, pues la mayor¨ªa de los comentarios se han centrado en el de los hijos, as¨ª que la discusi¨®n sigue abierta.

En cuanto al avi¨®n que va y vuelve, si hay viento tardar¨¢ m¨¢s que si no lo hay, pues tener el viento a favor en el viaje de ida no compensa el tenerlo en contra en el viaje de vuelta. ?Por qu¨¦? Porque vuela m¨¢s tiempo con el viento en contra (puesto que su velocidad es menor) que con el tiempo a favor.

Rizando el rizo

D¨¦mosle otra vuelta de tuerca a la paradoja de los hijos. Supongamos que alguien dice: ¡°Tengo dos hijos, y el que posee cierta caracter¨ªstica es var¨®n¡±, ?cu¨¢l es la probabilidad de que el otro tambi¨¦n lo sea? Todo el mundo tiene alguna caracter¨ªstica, luego esta frase, puesto que no se especifica caracter¨ªstica alguna, no aporta m¨¢s informaci¨®n que esta otra: ¡°Tengo dos hijos y uno de ellos es var¨®n¡±. ?Es correcto este razonamiento o entra?a una falacia?

(Quede claro que, en este contexto ¡°uno de ellos es var¨®n¡± ha de entenderse en el sentido de ¡°al menos uno de ellos es var¨®n¡±. No est¨¢ de m¨¢s aclararlo porque, coloquialmente, si alguien dice: ¡°Tengo dos hijos y uno de ellos es var¨®n¡±, damos por supuesto que el otro no lo es).

Y, para terminar, tres acertijos que en realidad son cuatro, como los mosqueteros:

?Cu¨¢l es la probabilidad de que dos de los cuatro mosqueteros hayan nacido el mismo d¨ªa de la semana?

?Cu¨¢l es la probabilidad de que los cuatro mosqueteros hayan nacido en distintos d¨ªas de la semana?

?Cu¨¢l es la probabilidad de que Athos y Aramis celebren su cumplea?os la misma semana?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.