HEX

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada de cu¨¢ntas maneras diferentes se puede expresar el n¨²mero 210 como producto de n¨²meros naturales (enteros y positivos). Lo primero es descomponerlo en factores primos: 210 = 2 x 3 x 5 x 7; las distintas factorizaciones ser¨¢n las distintas formas de agrupar estos primos, con lo que el problema es equivalente al de las amigas viajeras (si excluimos la opci¨®n de que vayan todas juntas en el mismo coche, que corresponder¨ªa a la factorizaci¨®n trivial 1 x 210):

210 = 2 x 3 x 5 x 7 = 2 x 3 x 35 = 2 x 5 x 21 = 2 x 7 x 15 = 3 x 5 x 14 = 3 x 7 x 10 = 5 x 7 x 6 = 2 x 105 = 3 x 70 = 5 x 42 = 7 x 30 = 6 x 35 = 10 x 21 = 14 x 15

En cuanto al n¨²mero 2310, en su descomposici¨®n en factores primos no hay ninguno repetido (es decir, con exponente): 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11, por lo que, al igual que en el caso anterior, el n¨²mero de posibles descomposiciones en factores enteros y positivos coincidir¨¢ con el n¨²mero de Bell B₅ = 52 (con la salvedad de excluir el 1 como factor).

Los inventos de Hein

Nuestro comentarista habitual Carlos Gaceo ha enviado un enlace a un interesante juego llamado MatHex (ver comentario 72 de la semana pasada), que es una actualizaci¨®n digitalizada del Hex, juego de tablero inventado en los a?os cuarenta del siglo pasado por el ingeniero y escritor dan¨¦s Piet Hein.

El Hex se juega sobre un tablero de 11 x 11 casillas hexagonales, donde dos jugadores van colocando alternativamente sus fichas, blancas las de uno y negras las del otro, intentando unir los dos lados opuestos del tablero que le corresponden a cada jugador con una cadena continua de sus fichas. Es un juego de fichas est¨¢ticas, como el Go: una vez colocadas en el tablero, permanecen en la misma casilla hasta el final de la partida. Las cuatro casillas de las esquinas pertenecen a ambos lados concurrentes y, por tanto, a ambos jugadores.

Aunque el tablero m¨¢s habitual es el de 11 x 11, se pueden usar tableros de otros tama?os. En la figura vemos el final de una partida ganada por las blancas en un tablero de 5 x 5. Pero la posici¨®n es poco veros¨ªmil. ?Por qu¨¦?

El tablero reducido facilita el an¨¢lisis del juego. ?Hay una estrategia ganadora? ?Se puede demostrar que uno de los jugadores tiene ventaja? ?Puede acabar en tablas la partida?

Piet Hein invent¨® tambi¨¦n el cubo soma, un rompecabezas tridimensional del que nos hemos ocupado en alguna ocasi¨®n, y aunque no descubri¨® la superelipse, estudi¨® sus propiedades y las aplic¨® al dise?o y a la escultura. Pero ese es otro art¨ªculo.