N¨²meros de Bell

Como vimos, nuestras tres amigas viajeras de la semana pasada pod¨ªan ir en uno, dos o tres coches de cinco maneras distintas. Si hubiera una amiga m¨¢s, podr¨ªan ir cada una en su coche (A-B-C-D), las cuatro juntas (ABCD), dos juntas y las otras dos separadas de seis maneras distintas (AB-C-D, AC-B-D, AD-B-C, BC-A-D, BD-A-C, CD-A-B), dos en un coche y dos en otro de tres maneras distintas (AB-CD, AC-BD, AD-BC) o una en un coche y tres en otro de cuatro maneras distintas (A-BCD, B-ACD, C-ABD, D-ABC), en total, 1 + 1 + 6 + 3 + 4 = 15 posibilidades.

Si las amigas son cinco, las posibilidades son 52, y si son seis, 203. Los sucesivos t¨¦rminos crecen r¨¢pidamente, y si incluimos los casos de una sola viajera (1 posibilidad) y de dos viajeras (2 posibilidades: ambas en el mismo coche o cada una en el suyo), la secuencia es la siguiente: 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147¡­

Cada t¨¦rmino de esta sucesi¨®n es el n¨²mero de particiones de un conjunto de n elementos, entendiendo por particiones las distintas maneras en que el conjunto se puede dividir en subconjuntos complementarios, es decir, sin elementos comunes y cuya uni¨®n es el conjunto completo (como en el caso de las amigas viajeras). Un conjunto de un elemento solo admite una partici¨®n. Un conjunto de dos elementos admite dos particiones distintas: los dos juntos o cada uno por separado. Un conjunto de tres elementos admite cinco particiones, como hemos visto en el caso de las tres amigas, y as¨ª sucesivamente.

El n¨²mero de particiones de un conjunto se denomina n¨²mero de Bell, en honor del matem¨¢tico y escritor escoc¨¦s Eric Temple Bell, a quien los aficionados a la ciencia ficci¨®n tal vez conozcan m¨¢s por su seud¨®nimo John Taine, autor de cl¨¢sicos del g¨¦nero como El zafiro p¨²rpura y Semillas de vida. El n¨²mero de Bell se suele expresar mediante la letra B con un sub¨ªndice que indica el n¨²mero de elementos del conjunto correspondiente; as¨ª, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5¡­ La sucesi¨®n de los n¨²meros de Bell suele empezar con dos unos: 1, 1, 2, 5, 15¡­, porque tambi¨¦n se contempla el caso del conjunto vac¨ªo, B₀ = 1.

Un n¨²mero compuesto, por definici¨®n, se puede descomponer en primos y, por tanto, expresar como producto de varios n¨²meros enteros; si solo tiene dos divisores (distintos de s¨ª mismo y de la unidad), esta expresi¨®n es ¨²nica; por ejemplo, 21 = 3 x 7 (adem¨¢s de la trivial 1 x 21). Pero si un n¨²mero tiene m¨¢s de dos divisores, se puede expresar como producto de otros n¨²meros de distintas maneras, adem¨¢s de la consabida descomposici¨®n en factores primos; por ejemplo, 66 = 2 x 3 x 11 = 6 x 11 = 2 x 33¡­

?De cu¨¢ntas maneras distintas se puede expresar como producto de varios n¨²meros (enteros, se entiende) el n¨²mero 210? ?Y el 2.310? ?Tienen algo que ver estas factorizaciones con lo visto anteriormente?

Invito a mis sagaces lectoras/es a examinar la interesante y vers¨¢til sucesi¨®n de los n¨²meros de Bell y a compartir sus conclusiones.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.