Una hormiga con un negro futuro

P¨¦simo pron¨®stico para la hormiga del segundo de los desaf¨ªos planteados EL PA?S para celebrar el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver planteamiento en el v¨ªdeo de la izquierda). La probabilidad de que el insecto sobreviva en el problema planteado por el profesor Fernando Blasco, de la Universidad Polit¨¦cnica de Madrid, es 0. Y tiene 4/7 de probabilidades de morir en el v¨¦rtice 8 y 3/7 de morir en el v¨¦rtice 7. Ya hay ganador del sorteo entre los acertantes de una biblioteca matem¨¢tica como la ofrece cada domingo EL PA?S. Esta semana ha sido Antonio Camacho, de Sevilla. Felicidades.

Nota: A petici¨®n de los lectores damos los datos de respuestas recibidas en el plazo estipulado: 1.635. De ellas acierta el 35%, aunque no todas explican el razonamiento seguido para llegar a la soluci¨®n. Por una cuesti¨®n de protecci¨®n de datos no podemos publicar el nombre de todos los acertantes. Ayer tardamos unas horas en dar el nombre del ganador precisamente porque prefer¨ªamos hablar con ¨¦l primero.

El problema puede resolverse de varias maneras. Aunque se pod¨ªa resolver utilizando t¨¦cnicas matriciales (y as¨ª lo han hecho algunos lectores) en el video exponemos un m¨¦todo con el que no hacen falta conocimientos matem¨¢ticos avanzados, sino simplemente ser conscientes de la simetr¨ªa del problema y resolver sistemas de ecuaciones.

Llamaremos P(i,j) a la probabilidad de que, partiendo del v¨¦rtice i se vaya a llegar al v¨¦rtice j (sin tener en cuenta el camino seguido). Con este lenguaje, lo que nos piden es P(1,7) y P(1,8). La simetr¨ªa del problema da lugar a las siguientes relaciones:

P(1,8)=P(2,7) (ya que, por simetr¨ªa, la probabilidad de llegar a 8 desde el v¨¦rtice 1 tiene que ser la misma que la de llegar a 7 desde el v¨¦rtice 2),

P(2,8)=P(1,7), P(3,8)=P(4,7), P(4,8)=P(5,8)=P(3,7)=P(6,7) y, finalmente P(6,8)=P(5,7).

Adem¨¢s, dado que la ¨²nica forma como puede morir la hormiga es por envenenamiento, la probabilidad de que en un pase aleatorio infinito nunca pase por los v¨¦rtices 7 u 8 es cero.

?Por qu¨¦? Que la hormiga sobreviva implicar¨ªa que la secuencia de movimientos que nunca contuviera los n¨²meros 7 ni 8. La probabilidad de tener una secuencia con esas caracter¨ªsticas cuando la hormiga recorre una arista partiendo de v¨¦rtice cualquiera es menor de 6/8, cuando recorre dos de 6/8*6/8=(6/8)^2, ... tras recorrer N aristas, la probabilidad de que nunca haya pasado por los v¨¦rtices 7 y 8 ser¨ªa (6/8)^N. Seg¨²n aumenta N ese n¨²mero se va haciendo m¨¢s peque?o; de hecho el ¨²nico n¨²mero no negativo que es menor que (6/8)^N para cualquier N es el 0.

Esta era una de las preguntas que se formulaban en el problema, con la intenci¨®n de que sirviera como pista para resolver el resto. Esta relaci¨®n se escribe como P(1,7)+P(1,8)=1 o, equivalentemente, como P(2,8)+P(1,8)=1.

Las condiciones del problema nos indican que la probabilidad de que partiendo de un v¨¦rtice i se llegue al v¨¦rtice 8 es el promedio de las probabilidades de llegar a 8os desde los v¨¦rtices contiguos a i. As¨ª, podemos obtener diferentes ecuaciones. Nos van a quedar muchas relaciones que no van a aportar informaci¨®n adicional y elegimos tres de ellas (no hay problema en elegir otro conjunto equivalente, la soluci¨®n ser¨¢ la misma):

P(1,8)=P(2,8)/3+P(4,8)/3+P(5,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

Teniendo en cuenta las relaciones de simetr¨ªa y que P(2,8)+P(1,8)=1, podemos reducir el problema a 4 ecuaciones con 4 inc¨®gnitas (en el video se muestra en detalle), resultando

P(1,8)=P(2,8)/3+2*P(4,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

P(2,8)+P(1,8)=1

Resolviendo ese sistema (ver video) resulta que P(1,8)=4/7 y P(1,7)=P(2,8)=3/7.

Enhorabuena a los acertantes y gracias por participar. Esperamos que hay¨¢is pasado un rato entretenido jugando con las matem¨¢ticas.

Una hormiga con un negro futuro

Una hormiga amenazada