Cuadrado m¨¢gico de productos... solucionado

Una soluci¨®n al tercer desaf¨ªo matem¨¢tico de EL PA?S (ver en el v¨ªdeo de la izquierda el planteamiento del problema y en el de la derecha la soluci¨®n) es el cuadrado cuya primera fila est¨¢ formada por los n¨²meros 45, 25, 3; la segunda fila por los n¨²meros 1, 15 y 225; y la tercera fila por los n¨²meros 75, 9, 5. Los otros cuadrados que tambi¨¦n son soluci¨®n del problema (hay otros siete) son los que se obtienen como resultado de los giros y simetr¨ªas del cuadrado anterior. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que cada semana se ofrece con EL PA?S es Aritz Ojembarrena Saracho, de Las Rozas (Madrid). Enhorabuena.

Para el problema planteado por Javier Cilleruelo, profesor de la UAM y miembro del ICMAT, se han recibido m¨¢s de 4.300 respuestas problema, casi el 90% de ellas correctas. Por motivos de protecci¨®n de datos s¨®lo publicamos el nombre del ganador, y una vez que nos hemos puesto en contacto con ¨¦l. EL PA?S celebra con esta iniciativa el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. El pr¨®ximo problema se plantear¨¢ hoy, en lugar del viernes, a petici¨®n de algunos centros educativos que quieren tener tiempo para analizar el desaf¨ªo con los alumnos.

Una manera de llegar a la soluci¨®n consiste en comenzar probando con lo m¨¢s sencillo, que es suponer que uno de los ocho n¨²meros que hay que colocar es el 1. Lo colocamos, por ejemplo, en el primer cuadradito de la segunda fila. Como el producto de los tres n¨²meros de la segunda fila tiene que ser igual al producto de los tres de la tercera columna, deducimos que el producto de los dos n¨²meros en las dos esquinas derechas tiene que ser 15 y eso s¨®lo es posible si uno de ellos es el 3 y otro el 5. Pongamos por ejemplo el 3 arriba y el 5 abajo. Ahora, comparamos el producto de los n¨²meros de la diagonal que contiene al 15 y al 3 con el producto de los n¨²meros de la tercera fila para deducir que el n¨²mero central de la tercera fila tiene que ser necesariamente el 9. Utilizando el mismo argumento con la otra diagonal y la primera fila, tambi¨¦n llegamos a que el n¨²mero central de la primera fila tiene que ser necesariamente el 25. Ya tenemos la segunda columna completa y como sabemos el producto de los tres n¨²meros podemos terminar de completar el cuadrado sin ninguna dificultad. Si hubi¨¦ramos empezado colocando el 1 en una esquina, pronto nos habr¨ªamos encontrado en un callej¨®n sin salida.

Los ocho cuadrados m¨¢gicos que son soluci¨®n del problema provienen de elegir, por cada una de las cuatro opciones que tenemos para colocar el 1 en un cuadradito lateral, una de las dos opciones para colocar el 3 y el 5.

Otra manera m¨¢s interesante de encontrar el cuadrado m¨¢gico se basa en observar que si tenemos dos cuadrados m¨¢gicos de productos, el cuadrado que resulta de ir colocando en cada posici¨®n el producto de los dos n¨²meros que ocupan esa posici¨®n, es tambi¨¦n un cuadrado m¨¢gico de productos. As¨ª que, si multiplicamos dos cuadrados m¨¢gicos de productos, uno de ellos con el 3 en el centro, y el otro con el 5, obtendremos el cuadrado m¨¢gico que buscamos, siempre que lo hayamos hecho con cuidado para que los n¨²meros que aparezcan en el cuadrado final sean distintos. Construir estos cuadrados m¨¢gicos auxiliares es muy sencillo y se pueden ver en el dibujo de la pizarra que aparece al final del video. Esta estrategia permite construir cuadrados m¨¢gicos de productos de enteros positivos distintos con otros n¨²meros centrales.

Hay otras maneras de encontrar el cuadrado. La m¨¢s natural para un matem¨¢tico consiste en plantear las ecuaciones de productos que surgen del problema. Combinando las diferentes ecuaciones se llega f¨¢cilmente a que en un cuadrado m¨¢gico de productos, el producto de los n¨²meros de cada fila, columna o diagonal, es el cubo del n¨²mero central (de la misma manera que en un cuadrado de sumas, la suma de los elementos de cada fila es el triple del central).

Por lo tanto, el producto de los dos n¨²meros extremos que aparecen en cada diagonal y en cada fila o columna que contienen al n¨²mero central, debe ser 15x15=225. Como los divisores positivos de 225 son los n¨²meros 1,3,5,9,15,25,45,75 y 225, ser¨¢n ¨¦stos los n¨²meros que formen nuestro cuadrado, una vez situados de la forma adecuada.

La manera en que cada lector haya llegado a la soluci¨®n es muy dif¨ªcil de valorar porque habr¨¢ dependido de las herramientas matem¨¢ticas de las que cada lector dispone. El mismo m¨¦rito tienen aquellos lectores que, con poca formaci¨®n matem¨¢tica, hayan llegado a la soluci¨®n por tanteo, que aquellos que lo hayan deducido despu¨¦s de plantear las ecuaciones adecuadas. Esta es la raz¨®n por la que no se ha pedido una explicaci¨®n de c¨®mo se ha encontrado el cuadrado y no que no nos parezca que lo m¨¢s interesante en la resoluci¨®n de un problema sea la manera en la que se resuelve.

Un cuadrado m¨¢gico de productos

Cuadrado m¨¢gico de productos... solucionado